[Ignacio Larrosa]

El máximo se produce en \( r \) cuando \( x_0 \leq{} r \), es decir cuando

\( r\geq{}\frac{d\sqrt{r^3}}{\sqrt{R^3}+\sqrt{r^3}}=\frac{d}{\sqrt{\left(\frac{R}{r}\right)^3}+1}\ \Rightarrow{}\ d\leq{}r\left(1+\left(\frac{R}{r}\right)^{\frac{3}{2}}\right) \)


Se pueden arrastrar los puntos \( C \) y \( D \) para cambiar \( r \) y \( R \), y \( B \) para cambiar \( d \). Seleccionando ola herramienta 'Desplaza Vista gráfica' (cuatro flechas en cruz), puede modificarse las escalas de los ejes, arrastrándolos en su dirección.

Saludos,

[Richard R Richard]

Hola si solo consideramos que \( d>R+r \) igualmente hay tres regiones

tomemos cero de referencia para x en el centro de la esfera de radio R

si
1) \( x\leq R \quad \to\quad S_{ilum_1}=4\pi R^2 \) estamos dentro de la esfera R , todo los puntos iluminan toda la superficie interior de R.

2) \( x\geq d-r \quad \to\quad S_{ilum_2}=4\pi r^2 \) estamos dentro de la esfera r y  como \( r<R \) cualquier punto de este segmento no es máximo.

3) \( R>x>d-r  \) tenemos que  tras varios despejes, \( x=d\dfrac{R^3-\sqrt{r^3R^3}}{R^3-r^3} \)
la superficie iluminada

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3}{x}-\dfrac{r^3}{d-x}\right)\color{blue}<2\pi(R^2+r^2)<4\pi R^2=S_{ilum_1}\color{black} \)

reemplazando

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3(R^3-r^3)}{d(R^3-\sqrt{R^3r^3})}-\dfrac{r^3}{d-d\dfrac{R^3-\sqrt{R^3r^3}}{(R^3-r^3)}}\right) \)



\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3-r^3}{d}\left[\dfrac{R^3}{R^3-\sqrt{R^3r^3}}\color{red}\cancel{-}\color{blue}+\color{black}\dfrac{r^3}{\sqrt{R^3r^3}-r^3}\right]\right) \)

Aquí saqué mal factor común, hay un signo equivocado en adelante esta mal. Pero la conclusión es correcta de todas maneras.

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3-r^3}{d}\left[\dfrac{R^3}{R^3-\sqrt{R^3r^3}}+\dfrac{r^3}{r^3-\sqrt{R^3r^3}}\right]\right) \)

desarrollando si no he metido mal los dedos ahora o antes

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3-r^3}{d}\left[\dfrac{R^3}{R^3-\sqrt{R^3r^3}}+\dfrac{r^3}{r^3-\sqrt{R^3r^3}}\right]\right) \)

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3-r^3}{d}\left[\dfrac{2R^3r^3-\sqrt{R^3r^3}(R^3+r^3)}{2R^3r^3-\sqrt{R^3r^3}(R^3+r^3)}\right]\right) \)

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3-r^3}{d}\right) \)

Esto es menor a  \( 2\pi(R^2+r^2) \) para todo \( d>R+r \)

y  \( 2\pi(R^2+r^2) \) es menor \( 4\pi R^2 \)

de donde \( S_{ilum_3}< 4\pi R^2=S_{ilum_1} \)

Entonces la iluminación máxima esta en el segmento \( 0\geq x\geq R \) donde \( S_{ilum_1}=4\pi R^2 \)

Espero este bien

[Luis Fuentes]

Hola

tomemos cero de referencia para x en el centro de la esfera de radio R

si
1) \( x\leq R \quad \to\quad S_{ilum_1}=4\pi R^2 \) estamos dentro de la esfera R , todo los puntos iluminan toda la superficie interior de R.

2) \( x\geq d-r \quad \to\quad S_{ilum_2}=4\pi r^2 \) estamos dentro de la esfera r y  como \( r<R \) cualquier punto de este segmento no es máximo.

3) \( R>x>d-r  \) tenemos que  tras varios despejes, \( x=d\dfrac{R^3-\sqrt{r^3R^3}}{R^3-r^3} \)
la superficie iluminada

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3}{x}-\dfrac{r^3}{d-x}\right) \)

reemplazando

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3(R^3-r^3)}{d(R^3-\sqrt{R^3r^3})}-\dfrac{r^3}{d-d\dfrac{R^3-\sqrt{R^3r^3}}{(R^3-r^3)}}\right) \)


\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3-r^3}{d}\left[\dfrac{R^3}{R^3-\sqrt{R^3r^3}}-\dfrac{r^3}{\sqrt{R^3r^3}-r^3}\right]\right) \)

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3-r^3}{d}\left[\dfrac{R^3}{R^3-\sqrt{R^3r^3}}+\dfrac{r^3}{r^3-\sqrt{R^3r^3}}\right]\right) \)

desarrollando si no he metido mal los dedos ahora o antes

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3-r^3}{d}\left[\dfrac{R^3}{R^3-\sqrt{R^3r^3}}+\dfrac{r^3}{r^3-\sqrt{R^3r^3}}\right]\right) \)

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3-r^3}{d}\left[\dfrac{2R^3r^3-\sqrt{R^3r^3}(R^3+r^3)}{2R^3r^3-\sqrt{R^3r^3}(R^3+r^3)}\right]\right) \)

\( S_{ilum_3}=2\pi\left(R^2+r^2-\dfrac{R^3-r^3}{d}\right) \)

Esto es menor a  \( 2\pi(R^2+r^2) \) para todo \( d>R+r \)

y  \( 2\pi(R^2+r^2) \) es menor \( 4\pi R^2 \)

de donde \( S_{ilum_3}< 4\pi R^2=S_{ilum_1} \)

Entonces la iluminación máxima esta en el segmento \( 0\geq x\geq R \) donde \( S_{ilum_1}=4\pi R^2 \)

Espero este bien

Si; está bien. El caso (2) es el que hemos considerado los demás, porque hemos interpretado que la luz no puede estar dentro de las esferas. No entraré a discutir cuál es la interpretación "buena" del enunciado; al final es subjetivo.

Si permites que la luz esté dentro, obviamente la máxima superficie iluminada se consigue iluminando toda la esfera grande con una luz en cualquier punto de su interior.

Saludos.

[Richard R Richard]

es el que hemos considerado los demás, porque hemos interpretado que la luz no puede estar dentro de las esferas. No entraré a discutir cuál es la interpretación "buena" del enunciado; al final es subjetivo.

Hola , para mi fue intuitivo que la luz  ubicada fuera de las esferas, cubra  menor superficie que por dentro de la esfera mas grande, otra cosa es demostrarlo, por eso le busqué la quinta pata al gato con la distribución de las esferas al principio, por si se me escapaba algo.


El enunciado es el que fue presentado , coincido no vale la pena discutir ninguna otra buena o mala interpretación.


He encontrado un gazapo de signo en mi calculo de la superficie iluminada total por fuera, pero es anecdótico e innecesario,  lo único que pide el enunciado  es encontrar x.