Hola a todos.
He estado intentando resolver el ejercicio que les transcribo a continuación, pero no he podido completar el segundo paso.
Sean $$A$$ y $$B$$ conjuntos y $$\sim_A$$ y $$\sim_B$$ relaciones de equivalencia en $$A$$ y $$B$$, respectivamente. Defínase la relación $$\sim$$ en $$A\times B$$ por
\[
(a_1,b_1)\sim (a_2, b_2) \qquad\text{si y sólo si}\qquad a_1\sim a_2 \text{ y } b_1\sim b_2.
\]
Entonces $$\sim$$ es una relación de equivalencia en $$A\times B$$.
1. Usar la propiedad universal de los cocientes para mostrar que existen aplicaciones $$(A\times B)/\sim \to A/\sim_A$$ y $$(A\times B)/\sim \to B/\sim_B$$.
2. Demostrar que $$(A\times B)/\sim$$, con las aplicaciones encontradas, satisface la propiedad universal del producto de $$A/\sim_A$$ y $$B/\sim_B$$.
3. Concluir, sin más trabajo, que $$(A\times B)/\sim \cong (A/\sim_A) \times (B/\sim_B)$$.
Notas:
a) Según lo explicado en el libro donde aparece el ejercicio, la propiedad universal del conjunto cociente $$X/\sim$$ por una relación de equivalencia es la siguiente: si $$Z$$ es un conjunto y $$f:X\to Z$$ es tal que $$x\sim y$$ implica $$f(x) = f(y)$$, entonces existe una única aplicación $$\phi$$ tal que el diagrama siguiente es conmutativo:
\begin{xy}
\xymatrix{
X/\sim \ar@{-->}[rr]^\phi & & Z\\
& X\ar[ul]^{\pi^\sim} \ar[ur]_f
}
\end{xy}
donde $$\pi^{\sim}$$ es la proyección canónica \( x\mapsto [x]_\sim \).
b) La propiedad universal del producto $$X\times Y$$ de dos conjuntos $$X$$ y $$Y$$ es la siguiente: si $$Z$$ es un conjunto y $$f:Z\to X$$ y $$g:Z\to Y$$ son aplicaciones, entonces existe una única aplicación $$\phi$$ tal que el diagrama
\begin{xy}
\xymatrix {
& & X \\
Z \ar@/^/[urr]^f\ar@/_/[drr]_g \ar@{-->}[r]^{\phi} & X\times Y\ar[ur]_{\pi_X}\ar[dr]^{\pi_Y} \\
& & Y \\
}
\end{xy}
es conmutativo. (Aquí, $$\pi_A$$ es la proyección canónica de $$A\times B$$ en $$A$$, $$\pi_A:(a,b)\mapsto a$$).
c) Creo que he podido obtener el resultado del primer apartado del ejercicio: la aplicación $$f:A\times B\to A/\sim_A$$ dada por $$f(a,b) = [a]_{\sim_A}$$ claramente cumple con que $$(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\ \Rightarrow\ f(a_1) = f(a_2)$$, luego existe una única aplicación $$\phi_A$$ tal que
\begin{xy}
\xymatrix{
(A\times B)/\sim \ar@{-->}[rr]^{\phi_A} & & A/\sim_A\\
& A\times B\ar[ul]^{\pi^\sim} \ar[ur]_f
}
\end{xy}
De forma similar encontramos una aplicación $$\phi_B:(A\times B)/\sim \to B/\sim_B$$.
Sin embargo, no he logrado ver cómo determinar, a partir de las aplicaciones $$\phi_A$$ y $$\phi_B$$, la aplicación única $$\psi$$ que hace al diagrama
\begin{xy}
\xymatrix {
& & A/\sim_{A} \\
Z \ar@/^/[urr]^f\ar@/_/[drr]_g \ar@{-->}[r]^{\psi} & (A\times B)/\sim\ar[ur]_{\phi_A}\ar[dr]^{\phi_B} \\
& & B/\sim_{B} \\
}
\end{xy}
conmutativo. ¿Estoy en lo correcto al pensar que tal aplicación $$\psi$$ daría solución al problema universal que caracteriza al producto de $$A/\sim_A$$ y $$B/\sim_B$$, o estoy adoptando un enfoque incorrecto?
d) El tercer paso del ejercicio es fácil, pues puedo usar el hecho ya demostrado de que dos objetos finales (resp. iniciales) de una categoría son isomorfos, y ya se han descrito los productos de conjuntos como objetos finales de cierta categoría, y se ha explicado que las propiedades universales expresan el hecho de que ciertos objetos son iniciales en cierta categoría.
