Autor Tema: las 27 rectas de la cubica de fermat

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19 Abril, 2022, 11:30 am
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marinavzqz

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Buenas,
estoy viendo las 27 rectas de ka cubica de Fermat
Veamos que una recta L en el espacio proyectivo ℙ3 está dada por dos hiperplanos, que son hipersuperficies de grado1 1. Elegimos una recta L en ℙ3, salvo cambio de coordenadas, estos dos hiperplanos vienen dados por 𝑥=𝑎𝑧+𝑏𝑡,𝑦=𝑐𝑧+𝑑𝑡
Por tanto, la recta L está contenida en la cúbica de Fermat si y sólo si (𝑎𝑧+𝑏𝑡)3+(𝑐𝑧+𝑑𝑡)3+𝑧3+𝑡3=0 como polinomio en ℂ[𝑧,𝑡]
Desarrollando esta expresión,
𝑎3𝑧3+𝑏3𝑡3+3𝑎𝑧𝑏2𝑡2+3𝑎2𝑧2𝑏𝑡
+𝑐3𝑧3+𝑑3𝑡3+3𝑐𝑧𝑑2𝑡2+3𝑐2𝑧2𝑑𝑡
+𝑧3+𝑡3=0
Deben satisfacerse las siguientes cuatro ecuaciones: \\
(1)𝑎3+𝑐3+1=0\\
(2)𝑏3+𝑑3+1=0\\
(3)𝑎𝑏2+𝑐𝑑2=0\\
(4)𝑎2𝑏+𝑐2𝑑=0\\
Si suponemos que los a,b,c,d son todos distintos de cero, entonces haciendo (3)2/(4) obtenemos 𝑏3=−𝑑3 lo que contradice (2). Por tanto, al menos uno de estos a,b,c,d debe ser no nulo.
Salvo cambio de coordenadas, podemos asumir que a=0 y así obtenemos que 𝑏3=𝑐3=−1 y a=d=0. El par (b,c) será de la forma (b,c)=(−𝑤𝑗,−𝑤𝑘) para 0≤𝑗, k≤2 donde w es la raíz cúbica primitiva de la unidad, es decir, w=𝑒2𝜋𝑖3. Las rectas son producto de todas las posibles permutaciones de las coordenadas: 
𝑥+𝑡𝑤𝑘=𝑦+𝑧𝑤𝑗=,0≤𝑗,𝑘≤2
𝑥+𝑧𝑤𝑘=𝑡+𝑦𝑤𝑗=,0≤𝑗,𝑘≤2
𝑥+𝑦𝑤𝑘=𝑡+𝑧𝑤𝑗=,0≤𝑗,𝑘≤2
y mi pregunta es por que las rectas son producto de todas las posibles permutaciones de las coordenadas??
gracias

19 Abril, 2022, 04:28 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola
 
 Prácticamente el mismo planteamiento lo habías puesto aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119885.msg483136#msg483136

En este mensaje has hecho un copy-paste que impide que se vean bien las fórmulas. Evita esto, por favor.

 Además si quieres seguir preguntando sobre ese planteamiento hazlo en el hilo donde lo habías propuesto, añadiendo tu nueva pregunta.

 Este hilo queda bloqueado.

Saludos.