Hola
Muchas gracias por vuestras respuestas, pero como no domino el tema me cuesta un poco.....me podriais decir que valores tienen los complejos para poder comprobarlos con los mios? me dan números un poco raros y no estoy segura de tenerlos bien.
Muchas gracias a todos
Dado que \( z_1 \) y \( z_4 \) son vértices opuestos del hexágono su punto medio es el centro del mismo:
\( z_0=\dfrac{z_1+z_4}{2}=2+3i \)
Ahora para hallar los vértice puedes utilizar la expresión indicada por Masacroso:
\( z_k=(z_1-z_0)e^{i 2(k-1)\pi/6}+z_0=(2+3i)-(2+3i)e^{i (k-1)\pi/3} \)
Queda:
\( z_1=(2+3i)-(2+3i)=0 \)
\( z_2=(2+3)-(2+3i)(cos(\pi(3)+sin(\pi/3)i)=(2+3i)-(2+3i)(1/2+i\sqrt{3}/2)=\ldots=\left(1+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}-\sqrt{3}\right)i \)
\( z_3=(2+3)-(2+3i)(cos(2\pi(3)+sin(2\pi/3)i)=(2+3i)-(2+3i)(-1/2+i\sqrt{3}/2)=\ldots=\left(3+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{9}{2}-\sqrt{3}\right)i \)
\( z_5=\left(3-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{9}{2}+\sqrt{3}\right)i \)
\( z_6=\left(1-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}+\sqrt{3}\right)i \)
Ahora girar \( \pi/6 \) es multiplicar por \( e^{\pi/6} \).
Una homotecia de centro \( c \) y razón \( k \) es aplicar:
\( f(z)=c+l(c-z) \)
En tu caso como el centro es cero, simplemente multiplicar por \( 1/2 \).
Así que para aplicar el giro y la homotecia a cada punto del hexágono sólo has de multiplicarlos por \( e^{\pi/6}/2 \).
Visualmente:
Saludos.
