Mmm no entiendo muy bien, puedes ayudarme a resolverlo como tal el ejercicio?
Mi idea era la siguiente: tienes que \( p''(x)=24x^2-28 \), entonces \( p''(x)=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{7/6} \), por tanto \( p' \) tiene extremos locales en esos lugares, lo cual nos indica que una de las raíces de \( p' \) se encuentra en el intervalo \( (-\sqrt{7/6}, \sqrt{7/6}) \), y las otras raíces se encuentran en \( (-\infty, -\sqrt{7/6}) \) y \( (\sqrt{7/6},\infty ) \).
Para comprobarlo, con una calculadora (o a mano si hay ganas) vemos que \( p'(\sqrt{7/6})\approx -6,16 \) y \( p'(-\sqrt{7/6})\approx 34,16 \). Además \( \lim_{x\to+\infty}p'(x)=+\infty \) y \( \lim_{x\to-\infty}p'(x)=-\infty \), por tanto nuestras suposiciones eran correctas. Ya sabemos en qué regiones se encuentran las raíces de \( p' \), que se corresponden a extremos locales de \( p \), es decir que \( p \) tiene un máximo local en \( (-\sqrt{7/6}, \sqrt{7/6}) \) y un mínimo local en cada una de las regiones adyacentes.
Como es más sencillo hallar los extremos locales de \( p \) que sus raíces entonces, con los datos que tenemos, podemos empezar a darle valores a \( p' \) para acotar así la posición de sus raíces y así delimitar las regiones en las que \( p \) tiene raíces, ya que \( p \) tiene al menos una raíz entre cada dos extremos locales si los valores que toma \( p \) en esos extremos tienen diferente signo. Ahora se trataría de darle valores a \( p' \) para ello, por ejemplo como \( p'(1/2)=1,\,p'(1)=-6,\, p'(2)=22 \) entonces ya hemos acotado bastante la posición del máximo local de \( p \) y de uno de los mínimos locales, sabemos que el máximo local se halla en \( (1/2,1) \) y uno de los mínimos locales se halla en \( (1,2) \), de hecho como \( p'(3/2)=-1 \) entonces el mínimo local se halla en \( (3/2,2) \). Etcétera.
Con unas buenas cotas de los extremos locales entonces ya podemos probar a intentar hallar regiones que delimiten las raíces de \( p \). La verdad es que el método es tan o más laborioso que el propuesto por
ingmarov, y el de
ingmarov es más directo así que parece más conveniente utilizar este último.
Otra cosa que se puede hacer es calcular directamente las raíces de \( p' \) con una calculadora, si sabes la fórmula para las raíces de un polinomio de grado tres. Ésta sería la forma de resolución del ejercicio más rápida y directa, ya que las raíces de \( p' \) nos determinan las regiones donde \( p \) podría tener raíces.
