[Masacroso]

Para la segunda serie tienes una pista importante al aparecer \( \tfrac1{\sqrt{3}} \), ya que \( \tfrac1{(-3)^n}=\tfrac1{(i\sqrt{3})^{2n}} \), por tanto modificando un poco la serie te queda \( \sum_{n\geqslant 0}\frac1{2n+1}p^{2n+1} \) con \( p=\tfrac1{i\sqrt{3}} \), por tanto para hallar su valor es suficiente con calcular \( \sum_{n\geqslant 1}\frac1n p^n \) y \( \sum_{n\geqslant 1}\frac1{2n}p^{2n} \).

Manipulando la serie:

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}}= \sum_{n=0}^\infty{\left( \dfrac{1}{-3} \right) ^n \dfrac{1}{2n+1}} = \sum_{n=0}^\infty{\left( \dfrac{1}{i\sqrt{3}} \right) ^{2n} \dfrac{1}{2n+1}} =i\sqrt{3} \sum_{n=0}^\infty{ \dfrac{1}{2n+1} \left(  \dfrac{1}{i\sqrt{3}} \right) ^{2n+1}}  \)

No me queda clara la afirmacion en rojo.

Muchas gracias,
Saludos,
Franco.

Sea \( a_n=\frac1{n} \) y \( p=\frac1{i\sqrt{3}} \), entonces

\( \displaystyle{
\sum_{n\geqslant 1}a_n p^n=\sum_{n\geqslant 1}a_{2n}p^{2n}+\sum_{n\geqslant 0}a_{2n+1}p^{2n+1}\implies \sum_{n\geqslant 0}\frac{(-1)^n}{2n+1}\cdot \frac1{3^n}=p^{-1}\sum_{n\geqslant 0}a_{2n+1}p^{2n+1}=p^{-1}\left[\sum_{n\geqslant 1}a_n p^n-\sum_{n\geqslant 1}a_{2n}p^{2n}\right]
} \)

Ahora bien, cada una de las series de la parte de la derecha se puede calcular conociendo la serie de Mercator, es decir, la expansión de Taylor de la función logaritmo alrededor del uno.

[franma]

Buenas a todos,

Con la integral genero el término \( \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} \)  y divido por \( x \) para bajar a \( x^{2n} \)

Ahora quedo todo mas que claro!

Sea \( a_n=\frac1{n} \) y \( p=\frac1{i\sqrt{3}} \), entonces

\( \displaystyle{
\sum_{n\geqslant 1}a_n p^n=\sum_{n\geqslant 1}a_{2n}p^{2n}+\sum_{n\geqslant 0}a_{2n+1}p^{2n+1}\implies \sum_{n\geqslant 0}\frac{(-1)^n}{2n+1}\cdot \frac1{3^n}=p^{-1}\sum_{n\geqslant 0}a_{2n+1}p^{2n+1}=p^{-1}\left[\sum_{n\geqslant 1}a_n p^n-\sum_{n\geqslant 1}a_{2n}p^{2n}\right]
} \)

Ahora bien, cada una de las series de la parte de la derecha se puede calcular conociendo la serie de Mercator, es decir, la expansión de Taylor de la función logaritmo alrededor del uno.

Ahora lo veo mejor, ¿Pero no estaríamos evaluando el logaritmo en valores complejos?

Por ejemplo para la primer serie:
\( \displaystyle \sum_{n\geqslant 1}a_n p^n = \displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \dfrac{1}{n} \dfrac{1}{i\sqrt{3}}=-\log(1-p) \)

Esto es según lo que pude leer en Wikipedia, perdón si cometo algún error.

Si por aquí seguía la idea del desarrollo se escapa de mi conocimiento y lo que doy en este curso :'(. Aunque es un camino interesante no me veo capaz de justificarlo en el contexto del curso.

Muchas gracias por las explicaciones detalladas,
Saludos,
Franco.

[Masacroso]

Sea \( a_n=\frac1{n} \) y \( p=\frac1{i\sqrt{3}} \), entonces

\( \displaystyle{
\sum_{n\geqslant 1}a_n p^n=\sum_{n\geqslant 1}a_{2n}p^{2n}+\sum_{n\geqslant 0}a_{2n+1}p^{2n+1}\implies \sum_{n\geqslant 0}\frac{(-1)^n}{2n+1}\cdot \frac1{3^n}=p^{-1}\sum_{n\geqslant 0}a_{2n+1}p^{2n+1}=p^{-1}\left[\sum_{n\geqslant 1}a_n p^n-\sum_{n\geqslant 1}a_{2n}p^{2n}\right]
} \)

Ahora bien, cada una de las series de la parte de la derecha se puede calcular conociendo la serie de Mercator, es decir, la expansión de Taylor de la función logaritmo alrededor del uno.

Ahora lo veo mejor, ¿Pero no estaríamos evaluando el logaritmo en valores complejos?

Por ejemplo para la primer serie:
\( \displaystyle \sum_{n\geqslant 1}a_n p^n = \displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \dfrac{1}{n} \dfrac{1}{i\sqrt{3}}=-\log(1-p) \)

Esto es según lo que pude leer en Wikipedia, perdón si cometo algún error.

Si por aquí seguía la idea del desarrollo se escapa de mi conocimiento y lo que doy en este curso :'(. Aunque es un camino interesante no me veo capaz de justificarlo en el contexto del curso.

Muchas gracias por las explicaciones detalladas,
Saludos,
Franco.

Sí, estaríamos evaluando el logaritmo en números complejos. Pues no se me ocurre una manera más sencilla de atacar esa serie, de hecho la otra manera que se me ocurre es bastante más compleja y laboriosa: observar que \( 2x\left(\frac{d}{d x}\frac{x^n}{2n+1}\right)=x^n-\frac{x^n}{2n+1} \) de donde se sigue que si definimos \( f(x):=\sum_{n\geqslant 0}\tfrac{x^n}{2n+1} \) para \( |x|<1 \) entonces tienes la ecuación diferencial lineal no homogénea \( f(x)+2xf'(x)=\frac1{1-x} \), la cual tiene por solución general \( f(x)=\frac1{\sqrt{x}}\int \frac1{2\sqrt{x}(1-x)}\,d x \), si no he errado mucho los cálculos (es posible que ésa no sea la solución más general al haber un elemento de tipo \( \sqrt{x} \), tendría que revisar los cálculos). A partir de ahí, quizá, puedes encontrar también la solución.

Me gustaría saber qué solución te dan sin utilizar números complejos.

[geómetracat]

Para la segunda serie yo creo que lo que se pretende es que uses la expansión en serie de Taylor para la arcotangente, que es bien conocida:
\[ \arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \].

En tu caso poniendo \[ x=\frac{1}{\sqrt{3}} \] y usando la pista que te dan debería salir bastante fácil.

[franma]

Buenas a todos,

Me gustaría saber qué solución te dan sin utilizar números complejos.

No tengo solucionario, aunque yo me inclino por la solución de Abdulai, la cual queda contenida en los temas dados en el curso.

Para la segunda serie yo creo que lo que se pretende es que uses la expansión en serie de Taylor para la arcotangente, que es bien conocida:
\[ \arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \].

En tu caso poniendo \[ x=\frac{1}{\sqrt{3}} \] y usando la pista que te dan debería salir bastante fácil.

No recordaba su serie de Taylor  pero si es bien conocida, nuevamente es algo similar a lo presentado por Abdulai.

Saludos,
Franco.

[Masacroso]

Buenas a todos,

Me gustaría saber qué solución te dan sin utilizar números complejos.

No tengo solucionario, aunque yo me inclino por la solución de Abdulai, la cual queda contenida en los temas dados en el curso.

Ups, había pasado por alto su mensaje, ahora lo he visto. Sí, una solución muy elegante y sencilla.