[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Calcular, justificando:
(1) \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{n+n^2}{2^n}} \)
(2) \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}} \) (recordar que \( \tg(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{\sqrt 3} \) )

Estos ejercicios están "englobados" en el tema de sucesiones/series de funciones / series de potencias.
Se me ocurre que se podrían ver las series como series de potencias (evaluadas en 1) de la forma:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{n+n^2}{2^n}x^n} \) e intentar encontrar que función representan.

No se como realizar esta ultima parte.

¿Es una idea posible? ¿Como podría continuar?

Saludos,
Franco.

[Juan Pablo Sancho]

Para \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n}{2^n}  \) te puede servir:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=53786.msg482757#msg482757
Para la siguiente parte del numerador:
\(         S_n = 1 \cdot k + 2^2 \cdot k^2 + 3^2 \cdot k^3 + \cdots + n^2 \cdot k^n  \)
\( k \cdot S_n = 1 \cdot k^2 + 2^2 \cdot k^3 + 3^2 \cdot k^4 + \cdots + n^2 \cdot k^{n+1}  \)
Si \( k \neq 1 \) restamos :
\( S_n -k \cdot S_n = k + (2^2 -1) k^2 + (3^2 - 2^2) \cdot k^3 + \cdots + (n^2-(n-1)^2) \cdot k^n - n^2 \cdot k^{n+1}  \)
\( \displaystyle S_n \cdot (1-k) = (k + 2 \cdot 2 \cdot k^2 + 3 \cdot 2 \cdot k^2 + 4 \cdot 2 \cdot k^3 + \cdots + n \cdot 2 \cdot k^n) -( k^2 + k^3 + \cdots + k^n) - n^2 \cdot k^{n+1}  \)

[franma]

Buenas Juan Pablo,

Lamentablemente no logre entender tu mensaje  ¿Quien juega el papel de \( k \)?

¿No hay otro camino que una el problema a alguno de estos temas?

sucesiones/series de funciones / series de potencias

Saludos,
Franco.

[Juan Pablo Sancho]

\( k \) sería \( \dfrac{1}{2}  \) a lo mejor cambiando el superindice para adecuarse mejor al problema.
Seguro hay alguna forma más rápida espera una idea más despierta, aquí es tarde.

[delmar]

Hola franma

Sí para la primera es conveniente en desdoblarla \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{n+n^2}{2^n}}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{n}{2^n}}+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{n^2}{2^n}} \)


Observa los términos de la primera sumatoria \( 0+(1/2)+2(1/2)^2+3(1/2)^3+...=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n \ (1/2)^n}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n \ x^n}, \ \ x=1/2 \)

Denominando a  la serie geométrica  \( g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{x^n} \) la cual converge en  \( (-1,1) \) a \( g(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x} \) se tiene que \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n \ x^n}=xg'(x) \) por el hecho que la derivada de la serie geométrica converge en el mismo intervalo a  \( g'(x) \)

Observa los términos de la seguna sumatoria \( 0+1^2 (1/2)+2^2 (1/2)^2+3^2(1/2)^3+...=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n^2 (1/2)^n}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n^2 x^n}, \ \ x=1/2 \)

La serie que resulta de derivar dos veces a la geométrica también converge en el mismo intervalo a \( g''(x)=(1/x^2)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n(n-1)x^n}=(1/x^2)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n^2x^n}-(1/x^2)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{nx^n} \) de ahí se puede despejar la sumatoria buscada


Saludos

[Masacroso]

Añadiendo a lo dicho por Juan Pablo y delmar, puedes echar un vistazo a esto que te servirá para la primera serie (con \( p=1/2 \)).

Para la segunda serie tienes una pista importante al aparecer \( \tfrac1{\sqrt{3}} \), ya que \( \tfrac1{(-3)^n}=\tfrac1{(i\sqrt{3})^{2n}} \), por tanto modificando un poco la serie te queda \( \sum_{n\geqslant 0}\frac1{2n+1}p^{2n+1} \) con \( p=\tfrac1{i\sqrt{3}} \), por tanto para hallar su valor es suficiente con calcular \( \sum_{n\geqslant 1}\frac1n p^n \) y \( \sum_{n\geqslant 1}\frac1{2n}p^{2n} \).

[franma]

Buenas a todos,

Hola franma

Sí para la primera es conveniente en desdoblarla \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{n+n^2}{2^n}}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{n}{2^n}}+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{n^2}{2^n}} \)


Observa los términos de la primera sumatoria \( 0+(1/2)+2(1/2)^2+3(1/2)^3+...=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n \ (1/2)^n}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n \ x^n}, \ \ x=1/2 \)

Denominando a  la serie geométrica  \( g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{x^n} \) la cual converge en  \( (-1,1) \) a \( g(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x} \) se tiene que \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n \ x^n}=xg'(x) \) por el hecho que la derivada de la serie geométrica converge en el mismo intervalo a  \( g'(x) \)

Observa los términos de la seguna sumatoria \( 0+1^2 (1/2)+2^2 (1/2)^2+3^2(1/2)^3+...=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n^2 (1/2)^n}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n^2 x^n}, \ \ x=1/2 \)

La serie que resulta de derivar dos veces a la geométrica también converge en el mismo intervalo a \( g''(x)=(1/x^2)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n(n-1)x^n}=(1/x^2)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n^2x^n}-(1/x^2)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{nx^n} \) de ahí se puede despejar la sumatoria buscada


Saludos

Para terminarlo:
\( (1/x^2)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n(n-1)x^n}+(1/x^2)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{nx^n}=(1/x^2)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n^2x^n} \)

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n(n-1)x^n}+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{nx^n}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{n^2x^n} \)

\( =x^2g''(x)+xg'(x) \)

Finalmente la suma buscada es \( S(x)=2xg'(x) +x^2g''(x)=\dfrac{2x}{(1-x)^2}+\dfrac{2x^2}{(1-x)^3} \) con \( x=1/2 \) y \( g(x)=\dfrac{1}{1-x} \)

Sustituyendo \( S(1/2)=8 \)

Para la segunda serie tienes una pista importante al aparecer \( \tfrac1{\sqrt{3}} \), ya que \( \tfrac1{(-3)^n}=\tfrac1{(i\sqrt{3})^{2n}} \), por tanto modificando un poco la serie te queda \( \sum_{n\geqslant 0}\frac1{2n+1}p^{2n+1} \) con \( p=\tfrac1{i\sqrt{3}} \), por tanto para hallar su valor es suficiente con calcular \( \sum_{n\geqslant 1}\frac1n p^n \) y \( \sum_{n\geqslant 1}\frac1{2n}p^{2n} \).

Manipulando la serie:

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}}= \sum_{n=0}^\infty{\left( \dfrac{1}{-3} \right) ^n \dfrac{1}{2n+1}} = \sum_{n=0}^\infty{\left( \dfrac{1}{i\sqrt{3}} \right) ^{2n} \dfrac{1}{2n+1}} =i\sqrt{3} \sum_{n=0}^\infty{ \dfrac{1}{2n+1} \left(  \dfrac{1}{i\sqrt{3}} \right) ^{2n+1}}  \)

No me queda clara la afirmacion en rojo.

Muchas gracias,
Saludos,
Franco.

[Abdulai]

(1) \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{n+n^2}{2^n}} \)

\( S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}nx^n=x\left(\displaystyle  \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty}x^n}_{1/(1-x)}\right)^{\prime}=\dfrac{x}{(1-x)^2}\;\;\longrightarrow\;\; S\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \)

\( S_2(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n=xS(x)^{\prime} = x\left(\dfrac{1}{(1-x)^2}+\dfrac{2x}{(1-x)^3}\right)\;\;\longrightarrow\;\; S_2\left(\frac{1}{2}\right) = 6 \)

\( \therefore\quad\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{n+n^2}{2^n}}= 2+6=8 \)


(2) \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}} \) (recordar que \( \tg(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{\sqrt 3} \) )

\( S_3(x)= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n} }{2n+1} =  \dfrac{1}{x}\;\displaystyle \int_{0}^{x}\left( \underbrace{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}}_{1/(1+x^2)}\right)dx = \frac{atan(x)}{x} \;\;\longrightarrow\;\; S_3\left(\frac{1}{\sqrt 3} \right) = \sqrt 3 \; atan\left(1/\sqrt 3\right) = \sqrt 3 \frac{\pi}{6} \)

[franma]

Buenas Abdulai,

(2) \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}} \) (recordar que \( \tg(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{\sqrt 3} \) )

\( S_3(x)= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n} }{2n+1} \color{red}{}=  \dfrac{1}{x}\;\displaystyle \int_{0}^{x}\left( \underbrace{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}}_{1/(1+x^2)}\right)dx \color{black}{}=\frac{atan(x)}{x} \;\;\longrightarrow\;\; S_3\left(\frac{1}{\sqrt 3} \right) = \sqrt 3 \; atan\left(1/\sqrt 3\right) = \sqrt 3 \frac{\pi}{6} \)

No logro ver en ese paso como se fue el denominador y aparece el \( \dfrac{1}{x} \). ¿Que te motivo a introducir la integral?

Saludos,
Franco.

[Abdulai]

Con la integral genero el término \( \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} \)  y divido por \( x \) para bajar a \( x^{2n} \)