[Restituto]

\(  \displaystyle \psi_0(x)=x-\sum_{\rho}\frac{x^\rho}{\rho}-\log 2\pi-\frac12\log\left(1-\frac1{x^2}\right)  \) donde en el segundo término del lado derecho por \( \rho \) se entienden ceros complejos. Ahora, en la expresión de estimación de error hay una función real de \( x \). En esta estimación se quiere determinar la tasa de cambio(una cota superior de esta) a la cual el error relativo entre \( \psi_0(x) \) y \( x \) se aproxima a cero asíntoticamente, cuando x tiende a infinito(bueno en realidad normalmente se usan errores o diferencias absolutas por lo que se multiplica el error por \( x \)). Esto es una función real claro, pero la relación explícita de la fórmula de  \( \psi_0(x) \) es con ceros complejos y dado que estamos usando análisis(tasa instantánea aunque en vez de aproximar un punto se aproxime infinito en el límite) en la estimación me choca que este no sea análisis complejo lo que impediría la estimación, por lo que mi suposición es errónea y me gustaría entender la razón(más allá de que soy lego y entiendo muy poco).🤔😉

[Carlos Ivorra]

Lo que sucede ahí es que si \( \rho \) es un cero, su conjugado \( \bar\rho \) es otro cero, y los términos \( x^\rho/\rho \) y \( x^{\bar\rho}/\bar\rho \) son también conjugados, luego la suma  \( x^\rho/\rho+x^{\bar\rho}/\bar\rho \) es un número real, por lo que, al sumar los términos de la serie agrupando los pares de conjugados, el resultado es real.

[Restituto]

Lo que sucede ahí es que si \( \rho \) es un cero, su conjugado \( \bar\rho \) es otro cero, y los términos \( x^\rho/\rho \) y \( x^{\bar\rho}/\bar\rho \) son también conjugados, luego la suma  \( x^\rho/\rho+x^{\bar\rho}/\bar\rho \) es un número real, por lo que, al sumar los términos de la serie agrupando los pares de conjugados, el resultado es real.

Si, gracias. Este dato lo conocía y por tanto no hay ningún problema con la serie ni con la fórmula de \( \psi_0(x)  \) . Mi pregunta (y lo que sigue quizás no tenga mucho sentido) venía de que me resulta difícil ver cómo se puede asignar una expresión diferencial (la tasa o ritmo con que tiende a un valor el error) real a partir de ceros complejos. Me parecía que esto iba más allá de poder obtener un resultado real en una suma emparejando ceros conjugados(recurso que no es válido en la diferenciación compleja). El denominador real del límite \( \displaystyle\lim_{x \to\infty}\frac{|\psi_0(x)-x|}{x^\alpha} \) ¿no perdería información con respecto a \( x^\rho \)?

[Carlos Ivorra]

Mi pregunta (y lo que sigue quizás no tenga mucho sentido) venía de que me resulta difícil ver cómo se puede asignar una expresión diferencial (la tasa o ritmo con que tiende a un valor el error) real a partir de ceros complejos.

¿Y quién pretende hacer eso?

Me parecía que esto iba más allá de poder obtener un resultado real en una suma emparejando ceros conjugados(recurso que no es válido en la diferenciación compleja).

No sé a qué te refieres.

El denominador real del límite \( \displaystyle\lim_{x \to\infty}\frac{|\psi_0(x)-x|}{x^\alpha} \) ¿no perdería información con respecto a \( x^\rho \)?

Pero ¿qué significa perder información respecto a \( x^\rho \)? \( x^\rho \) es un número complejo, no puedes usarlo individualmente para estimar un error de una aproximación de una función real.

Además, ese límit será 0 si \( \alpha \) es mayor que la parte real de todos los ceros no triviales y sospecho que será infinito en caso contrario, así que no hay mucha información que perder.

[Restituto]

¿Y quién pretende hacer eso?
No sé a qué te refieres.

Si la función de error en el teorema de primos se define como el ritmo al que el siguiente límite se hace cero: \( \displaystyle\lim_{x \to\infty}\displaystyle\sum_\rho{\frac{x^\rho}{\rho}}=0 \), a lo que me refiero es que aunque la suma se pueda hacer real sumando pares de  ceros conjugados en cierto orden, lo que hay dentro del límite sigue siendo una función de ceros complejos cuyo límite asíntotico se acerca a cero y no veo como da lugar a una función de error real.

[Carlos Ivorra]

Si la función de error en el teorema de primos se define como el ritmo al que el siguiente límite se hace cero: \( \displaystyle\lim_{x \to\infty}\displaystyle\sum_\rho{\frac{x^\rho}{\rho}}=0 \), a lo que me refiero es que aunque la suma se pueda hacer real sumando pares de  ceros conjugados en cierto orden, lo que hay dentro del límite sigue siendo una función de ceros complejos cuyo límite asíntotico se acerca a cero y no veo como da lugar a una función de error real.

No me acaba de cuadrar lo que planteas, pero, en cualquier caso, esa función es una función real de variable real. ¿La verías más "real" si la escribieras así"?:

\( \displaystyle\lim_{x \to\infty}\displaystyle\sum_\rho{\mbox{Re}(\frac{x^\rho}{\rho}})=0 \),

porque puesta así es la misma.

[Restituto]

No me acaba de cuadrar lo que planteas, pero, en cualquier caso, esa función es una función real de variable real. ¿La verías más "real" si la escribieras así"?:

\( \displaystyle\lim_{x \to\infty}\displaystyle\sum_\rho{\mbox{Re}(\frac{x^\rho}{\rho}})=0 \),

porque puesta así es la misma.

Sí esa equivalencia la veo, gracias. Mi planteamiento intuyo que requiere bastante más conocimiento de análisis del que tengo para poder desarrollarlo con algún sentido definido.

[Restituto]

Hola de nuevo. Si tenemos que \( |\sum_\rho{\frac{x^\rho}{\rho}}|=O(x^{\alpha+\epsilon}) \) donde \( \alpha \) se refiere a la parte real de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, estamos diciendo que para cualquier valor real del intervalo dado de \( \alpha \) se ha de cumplir la estimación y que la serie converja?

[Carlos Ivorra]

Hola de nuevo. Si tenemos que \( |\sum_\rho{\frac{x^\rho}{\rho}}|=O(x^{\alpha+\epsilon}) \) donde \( \alpha \) se refiere a la parte real de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, estamos diciendo que para cualquier valor real del intervalo dado de \( \alpha \) se ha de cumplir la estimación y que la serie converja?

No hay ningún intervalo de \( \alpha \). Por una parte, la serie converge condicionalmente para cada \( x>0 \). Esto no depende de \( \alpha \), ni de la hipótesis de Riemann ni de nada. Si llamamos

\( \displaystyle f(x)=\sum_\rho{\frac{x^\rho}{\rho}} \)

lo que dice la fórmula es que, fijado un número real \( 1/2 <\alpha\leq 1 \) tal que la parte real de todos los ceros no triviales sea menor que \( \alpha \) y fijado cualquier \( \epsilon>0 \), existe una constante \( M \) tal que  \( |f(x)|<Mx^{\alpha+\epsilon} \), lo cual no impide que \( f(x) \) tienda a \( +\infty \) cuando \( x\rightarrow +\infty \).

[Restituto]

No hay ningún intervalo de \( \alpha \). Por una parte, la serie converge condicionalmente para cada \( x>0 \). Esto no depende de \( \alpha \), ni de la hipótesis de Riemann ni de nada. Si llamamos

\( \displaystyle f(x)=\sum_\rho{\frac{x^\rho}{\rho}} \)

lo que dice la fórmula es que, fijado un número real \( 1/2 <\alpha\leq 1 \) tal que la parte real de todos los ceros no triviales sea menor que \( \alpha \) y fijado cualquier \( \epsilon>0 \), existe una constante \( M \) tal que  \( |f(x)|<Mx^{\alpha+\epsilon} \), lo cual no impide que \( f(x) \) tienda a \( +\infty \) cuando \( x\rightarrow +\infty \).

Me refiero a si la desigualdad debería ser válida en principio para cualquier valor real de \( \alpha \) que se fije de \( 1/2 <\alpha\leq 1 \).