[Restituto]

Se puede probar que si todos los ceros de la función zeta de Riemann cumplen \( \mbox{Re}(\rho)\leq \alpha \), donde \( 0<\alpha\leq 1 \), entonces el error de la aproximación  del  teorema de primos está acotado en la forma \( |\pi(x)-\mbox{Il}(x)|\leq Mx^\alpha\log x \) para  \( M>0 \).
Me gustaría entender bien lo que implica que el error se comporte aproximadamente como \( x^\alpha \), en concreto si esto implica que en principio la función zeta de Riemann puede tener ceros no triviales con parte real \( u \) igual a cualquiera de los valores \( 0<u<1 \) (dado que ya se conoce que no hay en \( u=0,1 \)).

[Carlos Ivorra]

Se puede probar que si todos los ceros de la función zeta de Riemann cumplen \( \mbox{Re}(\rho)\leq \alpha \), donde \( 0<\alpha\leq 1 \), entonces el error de la aproximación  del  teorema de primos está acotado en la forma \( |\pi(x)-\mbox{Il}(x)|\leq Mx^\alpha\log x \) para  \( M>0 \).
Me gustaría entender bien lo que implica que el error se comporte aproximadamente como \( x^\alpha \), en concreto si esto implica que en principio la función zeta de Riemann puede tener ceros no triviales con parte real \( u \) igual a cualquiera de los valores \( 0<u<1 \) (dado que ya se conoce que no hay en \( u=0,1 \)).

Eso es el teorema 5.11 de mi libro de Teoría analítica de números, y allí se prueba que es una equivalencia, es decir, que si se cumple esa estimación del error, entonces todos los ceros de la función dseta cumplen \( \mbox{Re}(\rho)\leq \alpha \).

[Restituto]

[Eso es el teorema 5.11 de mi libro de Teoría analítica de números, y allí se prueba que es una equivalencia, es decir, que si se cumple esa estimación del error, entonces todos los ceros de la función dseta cumplen \( \mbox{Re}(\rho)\leq \alpha \).

Lo que quiero tener claro es que si por ejemplo tuviéramos otra función compleja \( \Omega \) definida de tal forma que fuera posible un solo valor posible  de \( {Re}(\rho) \)  para la ubicación de sus ceros, entonces no podríamos tener una estimación del tipo \( x^\alpha \), ¿no?

[Carlos Ivorra]

Lo que quiero tener claro es que si por ejemplo tuviéramos otra función compleja \( \Omega \) definida de tal forma que fuera posible un solo valor posible  de \( {Re}(\rho) \)  para la ubicación de sus ceros, entonces no podríamos tener una estimación del tipo \( x^\alpha \), ¿no?

Si tuvieras otra función \( \Omega \) habría que ver qué relación tiene esa función con la distribución de los números primos, porque en principio no tendría por qué tener ninguna. No le veo sentido a tu pregunta.

[Restituto]

Si tuvieras otra función \( \Omega \) habría que ver qué relación tiene esa función con la distribución de los números primos, porque en principio no tendría por qué tener ninguna. No le veo sentido a tu pregunta.

Ya sé que la zeta de Riemann tal como està definida sí puede tener ceros no triviales con parte real u entre 0 y 1 lo que determina una relación concreta con la distribución de los primos.
Una función de error que se comporte como  \( x^\alpha \) es más general que la de la distribución de los primos. Solo me refería a zeta y al error del teorema de los primos como ejemplo. Estoy intentando saber si tal comportamiento para una estimación se puede aplicar para una función compleja definida con un valor único para la parte real de sus ceros. Mi intuición es que no.

[Carlos Ivorra]

Pues sigo sin entender lo que planteas.

Una función de error que se comporte como  \( x^\alpha \) es más general que la de la distribución de los primos. Solo me refería a zeta y al error del teorema de los primos como ejemplo.

¿Como ejemplo de qué? Tienes una función \( \Omega(z) \) ¿Qué supones que cumple? ¿Qué es lo que preguntas que pasa en tal caso?

Estoy intentando saber si tal comportamiento para una estimación se puede aplicar para una función compleja definida con un valor único para la parte real de sus ceros. Mi intuición es que no.

¿Qué comportamiento? ¿Una estimación de qué? Si te refieres a una estimación del error al aproximar la función \( \pi(x) \) por \( Il(x) \) y ahora consideras una función arbitraria \( \Omega(z) \), tendrás que aclarar qué sabemos de ella, porque si no, toma \( \Omega(z)=z^2 \). Sus ceros tienen parte real 0. ¿Y qué es lo que planteas sobre ella?

[Restituto]

Pues sigo sin entender lo que planteas.

¿Qué comportamiento? ¿Una estimación de qué?

Vaya, disculpas si estoy liandolo más. Ya no me refería a ninguna  \( \Omega(z) \) nueva en mi último mensaje. Por comportamiento me refiero a \( x^\alpha \) y estimación de un error de funciones asíntoticamente equivalentes  arbitrarias que se relacione con la parte real de ceros de una función compleja.

[Carlos Ivorra]

A ver si lo entiendo: ¿Lo que planteas es qué sabemos si \( |\pi(x)-Il(x)|=O(x^\alpha) \) (sin el logaritmo)? En tal caso, también se cumple que  \( |\pi(x)-Il(x)|=O(x^\alpha\log x) \), por lo que puedes concluir que los ceros de la función dseta cumplen \( \mbox{Re}\,\rho\leq \alpha \), pero no puedes obtener una cota mejor porque la condición necesaria y suficiente para una cota mejor, digamos \( \alpha-\epsilon \), es  \( |\pi(x)-Il(x)|=O(x^{\alpha-\epsilon}\log x) \), que es más fuerte que \( O(x^\alpha) \).

No sé si se podría obtener tal vez una cota para las partes reales de ceros con parte imaginaria suficientemente grande, o algo así.

[Restituto]

Muchas gracias. Me estoy dando cuenta de que mi planteamiento realmente no tiene mucho sentido. Me estaba preguntando sobre el papel del parámetro \( \alpha \) en la estimación pero veo que este viene dado por la función contadora de primos en su relación con los ceros de zeta. Ahora lo que no entiendo muy bien es que el error sea necesariamente una función real pero la relación en la expresión analítica exacta (sea \( \psi_0(x)  \) o equivalente) es con ceros complejos.

[Carlos Ivorra]

Ahora lo que no entiendo muy bien es que el error sea necesariamente una función real pero la relación en la expresión analítica exacta (sea \( \psi_0(x)  \) o equivalente) es con ceros complejos.

Si estás pensando en alguna fórmula en concreto, sería más fácil entender de qué hablas si la pusieras explícitamente en tu pregunta.