Hola, para demostrar este caso del UTF basta con demostrar la imposibildad de que se dé al mismo tiempo lo siguiente:
\( a^2=b^2+c^2 \)
\( d^2=b^2-c^2 \)
, para \( a,b,c,d \) enteros y coprimos entre sí -y- \( b\not\equiv{c} \) mod \( 2 \) .
Supongamos que es posible. Entonces, si aplicamos a estas ecuaciones las soluciones del UTF2, tendremos por un lado que: \( a=s^2+t^2 \) , \( b=s^2-t^2 \) -y- \( c=2st \) , para \( s,t \) coprimos -y- \( s\not\equiv{t} \) mod \( 2 \) . Donde \( c \) es el elemento par, porque si lo fuera \( b \) , entonces \( d^2\equiv{3,7} \) mod \( 8 \) . Y por otro lado, tendremos que: \( b=u^2+v^2 \) , \( d=u^2-v^2 \) -y- \( c=2uv \) , para \( u,v \) coprimos -y- \( u\not\equiv{v} \) mod \( 2 \) .
Lema: Todas las soluciones a la ecuación diofántica \( x^2+y^2=2z^2 \) (Ver
aquí), vienen dadas por las ternas pitagóricas solución de la ecuación: \( z^2=m^2+n^2 \) .
Si \( z^2=m^2+n^2 \) , para \( m,n \) enteros y coprimos; entonces \( (m^2+n^2)+(m^2+n^2)=2z^2 \) . Que es lo mismo que decir: \( (m^2+n^2+2mn)+(m^2+n^2-2mn)=2z^2 \) . Esto es, que: \( (m+n)^2+|m-n|^2=2z^2 \) .
De esta manera, como tenemos: \( a^2+d^2=2b^2 \) -y- también tenemos que: \( b^2=d^2+c^2 \) ; por el anterior lema, las soluciones de \( 2b^2 \) serán: \( (d+c)^2+|d-c|^2=2b^2 \) . Pero entonces: \( a=d+c \) -y- \( d=|d-c| \) . De donde: \( a=u^2-v^2+2uv \) -y- \( c=0 \) . Lo que no puede ser.
Ahora si suponemos que: \( e^4=f^4+g^4 \) , para \( e,f,g \) enteros, coprimos entre sí -y- \( g \) par. Y aplicamos al caso las soluciones del UTF2; ya que: \( (e^2)^2=(f^2)^2+(g^2)^2 \) . Tendremos que:
\( e^2=p^2+q^2 \)
\( f^2=p^2-q^2 \)
\( g^2=2pq \)
, para \( p,q \) coprimos -y- \( p\not\equiv{q} \) mod \( 2 \) . Donde además \( q \) debe ser el elemento par, porque si lo fuera \( p \) , entonces \( f^2\equiv{-1} \) mod \( 8 \) .
Un saludo,
