Spoiler
Como hay \[ 12 \] piratas y cada uno tiene una moneda más que el anterior, los restos de dividir el dinero de cada pirata por \[ 12 \] son \[ 0,1,2, \dots, 11 \] (aparecen todos los restos posibles módulo \[ 12 \]). Además, en cada iteración aparecen todos los restos posibles módulo \[ 12 \], pues para el que pierde \[ 11 \] monedas se tiene que \[ x-11 \equiv x+1 \mod 12 \] y los demás suman una moneda.
Por tanto, el resultado más favorable para un pirata es que se dé la siguiente situación: un pirata tiene \[ 0 \] monedas, otro tiene \[ 1 \] moneda, otro tiene \[ 2 \] monedas, ... , otro tiene \[ 10 \] monedas, y el que queda tiene el resto, es decir, \[ 2022 - \sum_{i=0}^{10} i = 2022 - 55 = 1967 \] monedas.
Además esta situación se puede dar. En efecto, podemos por ejemplo fijar el primer pirata, de manera que nunca le toque a él repartir, y en los turnos consecutivos elegir a cada pirata del resto consecutivamente: en el primer turno el segundo pirata, luego el tercero, ..., luego el duodécimo, luego otra vez el segundo, etc.
Esto no está bien:
En cada una de estas rondas (en una secuencia de elecciones desde el segundo pirata hasta el duodécimo) cada pirata exceptuando el primero ha repartido \[ 11 \] monedas y ha recibido \[ 10 \]. Por tanto su ganancia neta es \[ -1 \]. Es decir, al final de una ronda cada pirata desde el segundo hasta el duodécimo tendrá una moneda menos que cuando ha empezado la ronda.
Como además cada pirata empezaba con una moneda más que el anterior, cuando acabe este proceso el segundo pirata tendrá \[ 0 \] monedas, el tercero tendrá \[ 1 \] moneda, ..., el duodécimo tendrá \[ 10 \] monedas, y por tanto estaremos en la situación buscada.
El problema con lo anterior es que no tiene en cuenta que un pirata puede no tener suficientes monedas para repartir. Para solucionarlo, hacemos igual que antes: cada pirata del segundo al duodécimo reparte consecutivamente, pero si algún pirata no tiene monedas suficientes se salta. Vamos a ver que en cada ronda (sucesión de turnos del segundo al duodécimo, saltando a todos los piratas sin suficientes monedas) la suma de las monedas de los piratas \[ 2 \] a \[ 12 \] siempre baja, suponiendo que al menos uno de esos piratas puede repartir monedas. En efecto, si antes de empezar la ronda hay \[ k \] piratas que pueden repartir monedas y \[ 11-k \] que no, al final de la ronda cada pirata que no reparte habrá ganado \[ k \] monedas, y cada pirata que reparte habrá ganado \[ k-1 \] monedas, mientras que los \[ k \] piratas que han repartido habrán perdido \[ 11 \] monedas cada uno. En total, entre todos los piratas del segundo al duodécimo habrán ganado \[ (11-k)k+k(k-1)-11k = -k \]. Por tanto, mientras haya algún pirata que pueda repartir monedas, la suma total de monedas de los piratas \[ 2 \] a \[ 12 \] decrecerá estrictamente, y al final necesariamente debemos llegar a la situación buscada.
Así pues, el mayor número de monedas que puede llegar a tener un pirata son \[ 1967 \] monedas.
