[Luis Fuentes]

Encontrar todos los polinomios \( p(x) \) con coeficientes reales tales que

\( p(x)+p(y)+p(z)+p(x+y+z)=p(x+y)+p(y+z)+p(z+x) \)

para cualesquiera números reales \( x,y,z \).

[geómetracat]

Una manera:

Spoiler

Si hacemos \[ x=y=z \] obtenemos que se debe cumplir para todo \[ x \] real:
\[ 3p(x)+p(3x)=3p(2x) \].
Si \[ p(x)=a_nx^n+\dots+a_0 \] con \[ a_n\neq 0 \], sustituyendo en la ecuación de arriba e igualando los términos de grado \[ n \] se tiene que debe cumplirse:
\[ 3+3^n=3\cdot 2^n \]. Esta ecuación se cumple únicamente si \[ n=1,2 \]. Por otro lado, sustituyendo \[ x=y=z=0 \] en la ecuación inicial se tiene que \[ p(0)=0 \]. Luego debe ser \[ p(x)=ax^2+bx \], con \[ a,b\in \Bbb R \]. Y sustituyendo en la ecuación original se ve que este tipo de polinomios siempre la satisfacen. Por tanto, estos son todos los polinomios buscados.

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[martiniano]

Bonito problema y bonita solución  .

Un saludo.

[Samir M.]

Otra manera.

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Haciendo \( Q(x) = p(x+z)-p(x)-p(z) \) tenemos que \( Q(x+y) =p(x+y+z)-p(x+y)-p(z) = p(y+z)+p(x+z)-p(x)-p(y)-2p(z) = Q(x)+Q(y) \). Llegamos a la ecuación funcional tipo Cauchy cuya solución es \( Q(x) = cx \). Observando que \( p(0)=0 \), y usando esto tenemos que \( p(x+z)-p(x)-p(z) = cx \). Aquí vemos que \( c \) podría depender de \( z, c(z) \)  y no se pierde generalidad en la solución obtenida antes por la ecuación funcional de Cauchy (de hecho se gana). Si seguimos en esta línea, tenemos que \( p(x+z)-p(x)-p(z) = c(z)x \) y por simetría \( p(x+z)-p(x)-p(z) = c(x)z \), i.e \( c(z)x=c(x)z \) luego \( c(x)=kx \) para una constante \( k \). Así, \( p(x+z)-p(x)-p(z) = kzx \). Si ahora hacemos \( x=-z \) en llegamos a que \( -p(x)-p(-x) = -kx^2 \) o sea \( p(x)+p(-x) = kx^2 \). Si \( p \) fuese un polinomio par tendríamos que \( p(x)=k\dfrac{x^2}{2} \). Si fuese impar, tendríamos \( 0 =kx^2 \implies k = 0 \). En esta línea, tendríamos que \( p(x+z)-p(x)-p(z) =0 \) y voilá! De nuevo la ecuación funcional de Cauchy. Así, \( p(x) = ax \) (esta vez no puede existir la dependencia con \( z \)). Dándonos cuenta de que toda función (y en particular un polinomio) se puede escribir como la suma de una función par e impar, la solución más general es \( p(x) = a x+bx^2 \).

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