Hola, se trata de demostrar que toda solución posible del UTF3 se puede vincular con la contradicción de una congruencia entre sus términos.
Supongamos que \( \pmb{a^3+b^3+c^3=0} \) , para \( a,b,c \) enteros y coprimos entre sí.
Si \( 3 \) no divide á \( abc \) . Entonces, puesto que \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) , tendremos que \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) . Lo que no puede ser.
Establezcamos pues, sin perder generalidad, que \( 3^k \) , para \( k\in{\mathbb{N}} \) , divide á \( c \) .
Analicemos ahora esta ecuación trivial siempre posible: \( a+b+q=a^3+b^3 \) para un cierto \( q \) entero.
Como \( a+b+q\equiv{a^3+b^3} \) mod \( 3^{3k} \) \( \Rightarrow \) \( a^3+b^3\equiv{0} \) mod \( 3^{3k} \) -y- \( a+b\equiv{3^{3k-1}} \) -ó- \( 2\cdot 3^{3k-1} \) mod \( 3^{3k} \) . Pues al ser los restos de \( 3 \) : \( 1,2 \) ; si un número es múltiplo de \( 3^{3k-1} \) , módulo \( 3^{3k} \) ; sólo podrá ser congruente con \( 1\cdot 3^{3k-1} \) ó \( 2\cdot 3^{3k-1} \) .
Caso a) : Si \( a+b\equiv{3^{3k-1}} \) mod \( 3^{3k} \) .
Como \( a+b+q\equiv{a^3+b^3} \) mod \( 3^{3k} \) , entonces: \( 3^{3k-1}+q\equiv{0} \) -y- \( q\equiv{-3^{3k-1}} \) . Luego \( q\equiv{3^{3k}-3^{3k-1}=3^{3k-1}(3-1)=2\cdot 3^{3k-1}} \) .
Partimos de \( a+b+q=a^3+b^3 \) . Si divido entre \( a+b \) , obtendré \( 1+\dfrac{q}{a+b}=(a+b)^2-3ab \) ; porque: \( a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) . Naturalmente aquí \( a+b \) divide á \( q \) . Si paso a congruencia módulo \( 3^{3k} \) , entonces: \( 1+\dfrac{q}{a+b}\equiv{(a+b)^2-3ab} \) \( \Rightarrow \) \( 1+\dfrac{2\cdot 3^{3k-1}}{3^{3k-1}}\equiv{0-3ab} \) -y- \( 3\equiv{-3ab} \) mod \( 3^{3k} \) . Luego \( 3\equiv{-3ab} \) mod \( 9 \) -y- \( ab\equiv{-1,2,5} \) mod \( 9 \) ; es decir, que el producto \( a\cdot b \) es congruente con todos los no-residuos cuadráticos de \( 9 \)
(Wikipedia) . Y efectivamente, como sabemos que en cualquier caso \( a+b\equiv{0} \) mod \( 9 \) ; comprobamos que: \( 1+8=0 \) -y- \( 1\cdot 8=-1 \) , \( 2+7=0 \) -y- \( 2\cdot 7=14=5 \) , \( 4+5=0 \) -y- \( 4\cdot 5=20=2 \) . Ya que \( 3+6 \) no lo contamos porque \( a,b \) no son ninguno múltiplos de \( 3 \) .
En general, además, se puede probar que si \( r,s \) son restos de \( 3^k \) -y- \( r+s=0 \) módulo \( 3^k \) -salvo que \( r \) ó \( s \) sea múltiplo de \( 3^{k-1} \) - ; entonces \( r\cdot s \) es congruente siempre con un no-residuo de \( 3^k \) .
Caso b) : Si \( a'+b'\equiv{2\cdot 3^{3k-1}} \) mod \( 3^{3k} \) .
Supongamos ahora esta ecuación: \( a'+b'+s=a'\,^3+b'\,^3 \) , para un cierto \( s \) entero. Si \( a'+b'+s\equiv{a'\,^3+b'\,^3} \) mod \( 3^{3k} \) ; entonces: \( 2\cdot 3^{3k-1}+s\equiv{0} \) -y- \( s\equiv{-2\cdot 3^{3k-1}} \) . Luego \( s\equiv{3^{3k}-2\cdot 3^{3k-1}=3^{3k-1}(3-2)=3^{3k-1}} \) .
Como: \( a'+b'+s=a'\,^3+b'\,^3 \) . Si divido entre \( a'+b' \) , obtendré: \( 1+\dfrac{s}{a'+b'}=(a'+b')^2-3a'b' \) . Y si paso a congruencia módulo \( 3^{3k} \) , entonces: \( 1+\dfrac{s}{a'+b'}\equiv{(a'+b')^2-3a'b'} \) \( \Rightarrow \) \( 1+\dfrac{3^{3k-1}}{2\cdot 3^{3k-1}}\equiv{0-3ab} \) -y- \( 1+\dfrac{1}{2}\equiv{-3a'b'} \) \( \Rightarrow \) \( 3\equiv{-6a'b'} \) mod \( 3^{3k} \) . Luego: \( 3\equiv{-6a'b'} \) mod \( 9 \) -y- \( a'b'\equiv{1,4,7} \) mod \( 9 \) ; es decir, que el producto \( a'\cdot b' \) es congruente con todos los residuos (cuadráticos) de \( 9 \) . Pero como conocemos que \( a'+b'\equiv{0} \) mod \( 9 \) ; vemos haciendo las sumas de arriba, que esto no puede ser.
Comprobemos este hecho de otra manera. Hemos quedado en que \( a+b \) no puede ser congruente por ejemplo con \( 18 \) módulo \( 27 \) . Esto es verificable. Sabemos que \( -c^3=a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) . Estamos suponiendo ahora que sólo \( 3 \) divide á \( c \) , o sea, para \( k=1 \) . Si divido \( -c^3 \) entre \( 27 \) -y- entonces, lógicamente: entre \( 9 \) á \( a+b \) -y- entre \( 3 \) á \( (a+b)^2-3ab \) ; estos dos factores serán coprimos y terceras potencias. De esta manera, tendremos que: \( \dfrac{a+b}{9}\equiv\dfrac{18}{9}=2 \) mod \( 27 \) . Pero es sencillo comprobar haciendo números que \( 2 \) no es un residuo cúbico de \( 27 \) . Y si \( 2 \) no es residuo (cúbico) de \( 27 \) (\( 3^3 \)) , tampoco lo será de \( 729 \) (\( 3^6 \)) , si \( k=2 \) -y- en consecuencia \( 9 \) divide á \( c \) -y- tenemos que: \( \dfrac{a+b}{243}\equiv\dfrac{486}{243}=2 \) mod \( 729 \) . Y lo mismo para un posible \( k=3 \) , etc.
Busquemos ahora la contradicción si retomamos de nuevo el primer caso; el único posible, como hemos visto, al que llamaremos Caso a'). Esta es la clave de toda esta demostración; el mostrar que siempre podemos manipular una situación como la descrita en el Caso a) para que dé lugar a una contradicción con congruencias entre sus términos.
Caso a') : Si \( a+b\equiv{3^{3k-1}} \) mod \( 3^{3k} \) .
Supongamos ahora esta ecuación siempre verdadera: \( 4(a+b)+q'=a^3+b^3 \) . Como \( 4a+4b<a^3+b^3 \) , porque aunque \( a \) sea igual á \( 2 \) -y- \( 4a=a^3 \) ; \( b \) debe ser impar como mínimo de \( 5 \) -y- \( 4b<b^3\,\Rightarrow\,4<b^2 \) ; entonces \( q' \) será un entero positivo. Por lo que: \( 4(a+b)+q'\equiv{a^3+b^3} \) mod \( 3^{3k} \) \( \Rightarrow \) \( 3^{3k-1}+q'\equiv{0} \) . Ya que \( 4\equiv{1} \) mod \( 3 \) -y- por tanto \( 4\cdot 3^{3k-1}\equiv{3^{3k-1}} \) mod \( 3^{3k} \) . De manera que: \( q'\equiv{-3^{3k-1}} \) mod \( 3^{3k} \) -y- : \( q'\equiv{3^{3k}-3^{3k-1}=3^{3k-1}(3-1)=2\cdot 3^{3k-1}} \) .
Al partir de: \( 4(a+b)+q'=a^3+b^3 \) . Si divido entre \( a+b \) , obtendré \( 4+\dfrac{q'}{a+b}=(a+b)^2-3ab \) . Y si paso a congruencia módulo \( 3^{3k} \) , entonces: \( 4+\dfrac{2\cdot 3^{3k-1}}{3^{3k-1}}\equiv{0-3ab} \) -y- \( 4+2\equiv{-3ab} \) mod \( 3^{3k} \) \( \Rightarrow \) \( 6\equiv{-3ab} \) mod \( 9 \) . Pero entonces \( ab \) sería congruente con \( 1,4,7 \) módulo \( 9 \) . Lo que no es posible, porque como hemos visto antes el producto \( a\cdot b \) es congruente siempre con los no-residudos de \( 9 \) . Luego demostramos que tanto si \( a+b \) es congruente con \( 3^{3k-1} \) mod \( 3^{3k} \) , como si lo es con \( 2\cdot 3^{3k-1} \) , da lugar a una contradicción.
Un saludo,
PD. El esquema de este razonamiento es generalizable a otros casos del UTF, pero no vale la pena profundizar en ello si ya esta demostración está mal. De hecho todo esto es demasiado simple y tengo la impresión que debe de tener un fallo muy tonto, pero no soy capaz de encontrarlo.
