[Luis Fuentes]

Hola

Entonces intenté aplicar este principio realizando una analogía a otros problemas y también comenzaron a resolverse, por lo que se despertó una duda: ¿Será que éste es un principio matemático y que la física se comporta de esta forma o tiene esta propiedad porque la mínima acción aritmética es una propiedad que la obliga a comportarse así?

¿Es esto un cambio de paradigma?, ¿es algo que se encuentra establecido en las matemáticas y la física o es un error de percepción mía?

Es que no se muy bien como enuncias y aplicas de manera precisa en matemáticas; así que es muy difícil saber de lo que hablas.

A priori soy muy escéptico, sobre cambio de paradigma alguno.

Saludos.

[Granmurillo]

Agradezco el escepticismo, el cual exige el rigor necesario. Mi propuesta no es una metáfora física, sino la postulación de un Axioma de Optimización Estructural para sistemas discretos.
​La precisión matemática requerida reside en la definición operacional de las variables que componen el principio.

​El Axioma del Orden: El PMAA
​El Principio de Mínima Acción Aritmética (PMAA) postula una ley de causalidad para cualquier Sistema Aritmético Determinístico \( (S) \) que evoluciona de un estado \(  S_n  \) a \(  S_{n+1} \)
​El axioma establece que \( S_{n+1} \) está determinado por la minimización de la Acción sobre la Restricción:

\( S_{n+1}=C^* \) tal que \( A(S_n ,C^*)=min_{C\in{V}} \) {\(  A(S_n ,C) \)}

Donde definimos las variables de forma precisa:

\( C \) (Candidato): Cualquier elemento que pueda seguir a \( S_n \) en el dominio de \( S \) cuyo rol estructural es la base de la búsqueda.

\( D \) (determinante estructural): El conjunto de restricciones lógicas necesarias que \( C \)  debe satisfacer para ser un sucesor válido donde su rol estructural es definir el espacio de soluciones válidas \( (V) \) máxima resistencia.

\( A \) (Acción Aritmética): una función de costo cuantificable (métrica de distancia, número de pasos, esfuerzo logaritmico) de la transición \( S_n\rightarrow{C} \) donde su rol estructural es ser el motor de optimizacion (mínimo esfuerzo)

Enlace con la Física
​El PMAA postula que la minimización de la Acción no es una preferencia del universo, sino un requisito axiomático de la estructura lógica de los números discretos.
​Las pruebas de que este axioma predice correctamente la sucesión y la convergencia en sistemas conocidos (incluyendo los que menciona Erdős) los detallaría de forma precisa posteriormente; el axioma se presenta aquí como el principio unificador del orden discreto.

[Luis Fuentes]

Hola

​El Axioma del Orden: El PMAA
​El Principio de Mínima Acción Aritmética (PMAA) postula una ley de causalidad para cualquier Sistema Aritmético Determinístico \( (S) \) que evoluciona de un estado \(  S_n  \) a \(  S_{n+1} \)
​El axioma establece que \( S_{n+1} \) está determinado por la minimización de la Acción sobre la Restricción:

\( S_{n+1}=C^* \) tal que \( A(S_n ,C^*)=min_{C\in{V}} \) {\(  A(S_n ,C) \)}

Donde definimos las variables de forma precisa:

\( C \) (Candidato): Cualquier elemento que pueda seguir a \( S_n \) en el dominio de \( S \) cuyo rol estructural es la base de la búsqueda.

\( D \) (determinante estructural): El conjunto de restricciones lógicas necesarias que \( C \)  debe satisfacer para ser un sucesor válido donde su rol estructural es definir el espacio de soluciones válidas \( (V) \) máxima resistencia.

\( A \) (Acción Aritmética): una función de costo cuantificable (métrica de distancia, número de pasos, esfuerzo logaritmico) de la transición \( S_n\rightarrow{C} \) donde su rol estructural es ser el motor de optimizacion (mínimo esfuerzo)

No me queda claro si realmente quieres añadir un AXIOMA, o estás enunciando un teorema.

Por concretar me centraré en secuencias de números reales \( S_n \) definidas por recursividad donde cada estado solo depende del anterior, de manera que \( S_{n+1}=T(S_n) \). ¿Estás afirmando que da una cualquiera de esas secuencias siempre existe una función \( A(x,y) \) de manera que:

\( A(x,T(x))=min\{A(x,y)|y\in Im(T)\} \)

Sin más condicionantes y/o exigencias eso es un teorema cierto, trivialmente cierto, tomando por ejemplo \( A(x,T(x))=1 \), \( A(x,y)=0 \) si \( y\neq T(X) \).

Otra cosa es que pongas alguna condición especial a la función de coste. Aún así no se en que medida pretendes hablar de teoremas o de axiomas.

O quizá he entendido cualquier cosa y no tiene nada que ver con lo que quieres decir.

Saludos.

 

[Granmurillo]

Que rapido.

En efecto, el Principio de Mínima Acción Aritmética (PMAA) lo propongo como un Axioma Fundamental (una ley de comportamiento postulada), no un teorema. Postulo que la eficiencia no es una coincidencia, es un requisito axiomático del orden lógico.

Respecto a la trivialidad de la acción \( (A) \), su análisis es totalmente correcto: si el conjunto \( Im(T) \) es simplemente el sucesor real \( T(x) \), y definimos \( A \) como 1 solo para ese sucesor, la minimización es trivial. Sin embargo, el PMAA impone dos condicionantes no triviales que se debe considerar:

1. La Acción \( (A) \) debe ser una Métrica Invariante (Condición 1): La función de Acción \( (A) \) no es elegida a posteriori (como \( A \)=1 para el éxito), sino que debe ser una métrica invariante, independiente de la función de transición \( T \).

\( (A) \) debe ser una métrica cuantificable preexistente: la distancia geométrica, el costo logarítmico, o el número de pasos requeridos, definida sobre el dominio de los candidatos.

Ejemplo: \( A \) podría ser la diferencia \( |y-x| \). Si un sistema siempre salta a \( T(x) \), pero la minimización de \( |y-x| \) predice \( T(x) \) de forma consistente, el axioma es no trivial y predictivo.

2. El Espacio de Soluciones Válidas \( (V) \) (Condición 2): El PMAA opera sobre un conjunto de candidatos \( V \) que es más grande que el sucesor único \( T(x) \). Esta es la clave que rompe con un supuesto de \( Im(T)= \){\( T(x) \)}. La minimización no es sobre \( Im(T) \), sino sobre el **Espacio de Soluciones Válidas \( (V) \) ** definido por el Determinante \( (D) \):

\( S_{n+1}=C^* \) tal que \( C^*\in{V} \) y \( A(S_n,C^*) \)

En los sistemas discretos complejos, el Determinante \( (D) \) (la restricción lógica) genera un conjunto \( V \) que contiene múltiples posibles sucesores válidos.

El Proceso: La restricción \( D \) nos dice qué es válido \( C\in{V} \). El axioma \( min(A) \) nos dice cuál de los válidos debe ser el siguiente \( S_{n+1} \).

Si \( V \) contiene más de un elemento, y si \( A(x) \) es una métrica predefinida y no trivial (como la distancia), el axioma se convierte en un generador de sucesiones que debe ser empíricamente comprobado. El PMAA es un principio de selección sobre un espacio de posibilidades válidas.

Si me equivoqué en algo de la explicación lo aclaramos porque no soy un matematico sino mas bien un teorico abstracto.

[Granmurillo]

Para clarificar más a lo que me refiero, en física, el Principio de Mínima Acción \( (delta S = 0) \) no es una regla arbitraria; surge de una tensión fundamental:

- La Inercia (Cinética, \( T \)): La tendencia del sistema a mantener un estado simple y lineal (movimiento rectilíneo uniforme).

- El Potencial (Fuerzas, \( V \)): Las restricciones o campos que obligan al sistema a desviarse de esa línea.

La Lagrangiana \( (\mathcal{L}=T-V) \) mide esa disputa, y la Mínima Acción dicta que la naturaleza 'gasta' la menor cantidad posible de 'desviación' para ir de A a B.

Mi propuesta es que los Sistemas Aritméticos Deterministas poseen una estructura isomorfa:

1. Inercia Aritmética: Todo sistema recursivo tiene una tendencia natural a la linealidad simple (la sucesión \( n, n+1, n+2... \)). Esta es la estructura de mínima información/entropía.

2. El Determinante \( (\mathcal{D}) \): Son las reglas lógicas del sistema (congruencias, reglas de paridad, recursividad condicionada). Estas actúan como el 'Potencial' físico: son obstáculos que prohíben la linealidad pura.

El Axioma del PMAA: Lo que postulo es que, al igual que en la física, el sistema matemático no elige un sucesor al azar entre los válidos, ni lo hace por una regla ad-hoc. El sistema elige el sucesor que minimiza la desviación de su Inercia Aritmética.

La función de costo \( \mathcal{A} \) (la Acción), por tanto, no es arbitraria. En cualquier sistema dado, \( \mathcal{A} \) debe definirse necesariamente como la métrica que cuantifica cuánto se aleja el sistema de su linealidad ideal debido a las restricciones de \( \mathcal{D} \).

Esto sugiere que la 'Mínima Acción' no es una propiedad exclusiva de la materia y la energía, sino una propiedad emergente de cualquier sistema (físico o abstracto) donde una tendencia a la simplicidad (inercia) choca contra restricciones estructurales (fuerzas/reglas lógicas).

En el contexto específico de este hilo sobre la Conjetura de Collatz, planteo esto porque considero que las herramientas analíticas actuales fallan al no encontrar una invariante algebraica clásica.

Mi tesis es que el algoritmo \( 3x+1 \) requiere este Axioma de Linealidad Frustrada para ser resuelto. La convergencia no ocurre por azar, sino porque el sistema minimiza activamente su 'Acción' (desviación de la linealidad) en cada paso par \( (x/2) \), utilizando la pendiente más eficiente disponible para recuperar su inercia. Sin este principio de minimización, la convergencia carece de causa formal.

[Luis Fuentes]

Hola

 Sinceramente es todo extremadamente impreciso.

En efecto, el Principio de Mínima Acción Aritmética (PMAA) lo propongo como un Axioma Fundamental (una ley de comportamiento postulada), no un teorema. Postulo que la eficiencia no es una coincidencia, es un requisito axiomático del orden lógico.

 Si lo propones como axioma. Sería algo así como decir que pretendes que sin ese axioma no se pueda probar la conjetura de Collatz, en el sentido de que no se puede afirmar si es falsa o verdadera; pero con él (si es que con él dices que si que se prueba, cosa que no tengo clara si.

Respecto a la trivialidad de la acción \( (A) \), su análisis es totalmente correcto: si el conjunto \( Im(T) \) es simplemente el sucesor real \( T(x) \), y definimos \( A \) como 1 solo para ese sucesor, la minimización es trivial. Sin embargo, el PMAA impone dos condicionantes no triviales que se debe considerar:

1. La Acción \( (A) \) debe ser una Métrica Invariante (Condición 1): La función de Acción \( (A) \) no es elegida a posteriori (como \( A \)=1 para el éxito), sino que debe ser una métrica invariante, independiente de la función de transición \( T \).

No se a que llamas "métrica invariante". Tampoco de manera precisa que significa "indpendiente de la función de transición". Tampoco que significa a "priori". Cualquier función existe antes de la que definamos explícitamente, en la medida de que existe el conjunto de todas las funciones.

\( (A) \) debe ser una métrica cuantificable preexistente: la distancia geométrica, el costo logarítmico, o el número de pasos requeridos, definida sobre el dominio de los candidatos.

¿Pero cuál se supone que es el catálogo válido y exacto de "métricas cuantificables prexistentes?"

2. El Espacio de Soluciones Válidas \( (V) \) (Condición 2): El PMAA opera sobre un conjunto de candidatos \( V \) que es más grande que el sucesor único \( T(x) \). Esta es la clave que rompe con un supuesto de \( Im(T)= \){\( T(x) \)}. La minimización no es sobre \( Im(T) \), sino sobre el **Espacio de Soluciones Válidas \( (V) \) ** definido por el Determinante \( (D) \):

\( S_{n+1}=C^* \) tal que \( C^*\in{V} \) y \( A(S_n,C^*) \)

No veo que esto rompa lo que digo. Igualmente uno puede definir la función  \( T \) que yo decía sobre un domino más amplio.

Si me equivoqué en algo de la explicación lo aclaramos porque no soy un matematico sino mas bien un teorico abstracto.

No es tanto que te equivoques o no. Lo que expones me parece muy vago; poco preciso. Etéreo.

Saludos.

[Granmurillo]

Si lo propones como axioma. Sería algo así como decir que pretendes que sin ese axioma no se pueda probar la conjetura de Collatz, en el sentido de que no se puede afirmar si es falsa o verdadera; pero con él (si es que con él dices que si que se prueba, cosa que no tengo clara si.

Cuando obtuve las soluciones de las iteraciones sin utilizar el algoritmo detecté esta propiedad. La apliqué análogamente a la predicción continua de números primos sin utilizar la criba y funcionó. La apliqué a la predicción continua de pares de números primos gemelos y a particiones y en cada caso donde se pudiera utilizar una linealidad con un término agregado, como el término aditivo en el algoritmo 3x+1, y las soluciones, en las tablas de valores, sólo tenían explicación en los que tenían menor resistencia a las soluciones de los algoritmos.

Esa explicación es la que denominaba métrica invariable. No es que en el dominio de estas ecuaciones lineales se elige al de menor diferencia respecto a la solución del algoritmo, sino que las soluciones razonables se encontraban siempre en ese punto para el resto de numeros evaluados.

Por eso esa métrica es preexistente, es diferente la explicación de la diferencia entre la solución lineal y la solución de algun algoritmo, pero existe, no es que se elige al de menor resistencia a la accion del algoritmo por algún designio etéreo.

Por eso mi inquietud respecto a este tema. Siempre funcona así? Es porque el principio de mínima acción del universo conlleva a que estos algoritmos funiconen así o es el universo que es así porque matemáticamente existe una ley que no le permite funcionar de otra forma?

Estoy leyendo algunos trabajos que encontré sobre minima acción y linealidad, espero encontrar luces que me guíen para poder explicarme mejor.

[Granmurillo]

Hola a todos.
Revisando el trabajo de Lagarias (1985) sobre las generalizaciones del problema de Collatz, específicamente en el Teorema B, me he centrado en la ecuación que define un punto periódico \( x_0 \) para un ciclo de \( k \) pasos impares:
\( n_0{(v)}\equiv{}(\bar{Q}_k)^{-1}(\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}{v_i2^i}) \)      \( (mod2) \)

La ecuación en detalle se explica como:

\(  x(0)=\displaystyle\frac{c\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}3^{k-1-i}2^{s_i}}{2^K-3^k} \)

que es a la igualdad algebraica (no a la aproximación que indica Lagarias) a la que llega mi investigación, donde parece prohibir soluciones enteras para ciclos no triviales en c=1 y la identificación de múltiples ciclos en c>1.

Conocen de algún artículo de Lagarias que me esté saltando que confirme esto?