[MrPet]

Hola. Estoy a vueltas con un tema que seguramente es una tontería, pero hay algo que se me escapa y no logro encontrar la solución.
Me gustaría encontrar la fórmula genérica que me diga el valor del dinero acumulado después de "n" meses en un depósito, donde además de la cantidad inicial, cada mes realizo una aportación a ese fondo.

Por ejemplo, supongamos un depósito donde empiezo con una cantidad inicial de 1000€ al 5% de interés, pero donde además cada mes voy metiendo 1000€ más a la cantidad que haya allí depositada

MES 0 1000€
MES 1 1000+1000⋅0,05=1050€
MES 2 1050+1000+(1050+1000)0,05=2152,5€
MES 3 2152,5+1000+(2152,5+1000)0,05=3310,125€
MES 4 3310,125+1000+(3310,125+1000)0,05=4525,63€
MES 5  4525,63+1000+(4525,63+1000)0,05=5801,91€

y así sucesivamente.

Suponiendo las siguientes variables:
n=periodo
i=interés
a=cantidad inicial
a=deposito mensual (para este ejemplo, es igual que la cantidad inicial)
An= cantidad después de "n" meses

Para n=5, por ejemplo, la formula que obtengo es:
\( A_{n=5}=a(i^n+6i^{n-1}+15i^{n-2}+20i^{n-3}+15i^{n-4}+5) \)
Pero va creciendo mes a mes y no logro sacar algún patrón.

¿Que estoy haciendo mal?
Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola. Estoy a vueltas con un tema que seguramente es una tontería, pero hay algo que se me escapa y no logro encontrar la solución.
Me gustaría encontrar la fórmula genérica que me diga el valor del dinero acumulado después de "n" meses en un depósito, donde además de la cantidad inicial, cada mes realizo una aportación a ese fondo.

Por ejemplo, supongamos un depósito donde empiezo con una cantidad inicial de 1000€ al 5% de interés, pero donde además cada mes voy metiendo 1000€ más a la cantidad que haya allí depositada

MES 0 1000€
MES 1 1000+1000⋅0,05=1050€
MES 2 1050+1000+(1050+1000)0,05=2152,5€
MES 3 2152,5+1000+(2152,5+1000)0,05=3310,125€
MES 4 3310,125+1000+(3310,125+1000)0,05=4525,63€
MES 5  4525,63+1000+(4525,63+1000)0,05=5801,91€

Es que ya no entiendo lo que pones ahí.

Al acabar mes 1 deberías de tener: \( (1000)\cdot (1.05) \) que son los \( 1000 \) iniciales más sus intereses y \( 1000 \) más que añades. Es decir:

Mes 1=\( 1000+1000\cdot 1.05=2050 \)

Al acabar el mes 2 deberías de tener: \( (2050)\cdot (1.05) \) que son los \( 2050 \) del mes anterior más sus intereses y \( 1000 \) más que añades. Es decir:

Mes 2=\( 1000+2050\cdot 1.05=3152.5 \)

En general si:

\( a \) capital inicial
\( b \) aportación mensual
\( i \) interés en tanto por uno
\( n \) último mes

Llamando \( r=1+i \):

\( A_0=a \)
\( A_1=a\cdot r+b \)
\( A_2=A_1r+b=ar^2+br+b \)
\( A_3=A_2r+b=ar^3+br^2+br+b \)

en general:

\( A_n=ar^n+b(1+r+\ldots+r^{n-1})=ar^n+b\dfrac{r^n-1}{r-1} \)

Saludos.

[MrPet]

Hola.

Muchas gracias por la respuesta.
Ahora lo veo mucho más claro y caigo en mi error.

Si supusiera que el ingreso se hace a principios de mes, y el devengo al final, entonces sería:

\( A_{1}=ar\\A_{2}=(A_{1}+b)r=A_{1}r+br=ar^2+br\\A_{3}=(A_{2}+b)r=A_{2}r+br=ar^3+br^2+br\\A_{4}=(A_{3}+b)r=A_{3}r+br=ar^4+br^3+br^2+br \)

y por tanto:

\( A_{n}=ar^n+b(r+r^2+\ldots +r^{n-1}) \)

¿correcto?
¿Se podría escribir también así?

\( A_{n}=ar^n+b(\displaystyle\sum_{n=1}^{n-1} r^n) \)

En tu anterior respuesta no se muy bien como pasaste de

\( (1+r+r^2+\ldots +r^{n-1}) \)                 a                     \( \displaystyle{r^n-1 \over r-1} \)

Hace años que no toco las series y no he logrado sacar la relación.
Muchas gracias una vez mas.
Saludos.

[franma]

Buenas MrPet,

\( 1+r+r^2+\ldots +r^{n-1} \) corresponde la suma parcial de los primeros \( n-1 \) términos de una serie geométrica.

Para deducir la formula:
\( S=1+r+r^2+\ldots +r^{n-1} \quad (1) \)

Multiplicando por \( r \):
\( r\cdot S =r+r^2+r^3+\ldots +r^{n}\quad (2) \)

Ahora restamos la ecuación (2) a la ecuación (1).

\( S- r S = 1-r^n \Rightarrow S(1-r)=1-r^n \Rightarrow \boxed{S=\dfrac{1-r^n}{1-r}} \)

O equivalentemente \( \boxed{S=\dfrac{r^n-1}{r-1}} \)

Cualquier duda pregunta nuevamente.

Un saludo,
Franco.

[Luis Fuentes]

Hola

Si supusiera que el ingreso se hace a principios de mes, y el devengo al final, entonces sería:

\( A_{1}=ar\\A_{2}=(A_{1}+b)r=A_{1}r+br=ar^2+br\\A_{3}=(A_{2}+b)r=A_{2}r+br=ar^3+br^2+br\\A_{4}=(A_{3}+b)r=A_{3}r+br=ar^4+br^3+br^2+br \)

y por tanto:

\( A_{n}=ar^n+b(r+r^2+\ldots +r^{n-1}) \)

¿correcto?
¿Se podría escribir también así?

\( A_{n}=ar^n+b(\displaystyle\sum_{n=1}^{n-1} r^n) \)

Si.

En tu anterior respuesta no se muy bien como pasaste de

\( (1+r+r^2+\ldots +r^{n-1}) \)                 a                     \( \displaystyle{r^n-1 \over r-1} \)

Es la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica. Pero se demuestra en el momento. Tienes:

\( S=1+r+r^2+\ldots +r^{n-1} \)

multiplicando por \( r \)

\( rS=r+r^2+r^3+\ldots +r^{n} \)

Y restando ambas igualdades:

\( S(r-1)=r^n-1 \)

de donde:

\( S=\dfrac{r^n-1}{r-1} \)

Saludos.

P.D. Mientras escribía esto hizo lo mismo franma... 

[MrPet]

Muchísimas gracias.
Estaba seguro de que seria de pura lógica, pero la verdad no habría podido sacarlo sin ayuda.
Me habéis ayudado mucho