[crishchess]

Hola tengo dificultades con este ejercicio

En un modelo para el crecimiento de tejido, sea A(t) el área del cultivo de tejido en el instante (ver figura). Puesto que la mayoría de divisiones celulares se llevan a cabo en la porción periférica de tejido, el número de células en la periferia es proporcional a  \( \sqrt[ ]{A(t)} \). Si se supone que la razón de crecimiento del área es conjuntamente proporcional a \( \sqrt[ ]{A(t)} \)  y \( M - A(t) \), entonces un modelo matemático para \( A \) está dado por:

\( \displaystyle\frac{dA}{dt}= k \sqrt[ ]{A(t)} (M-A) \)

donde\(  M  \)es el área final de tejido cuando se ha completado el crecimiento.

a) Resuelva la ecuación diferencial por separación de variables.
b) Encuentre \( \displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}{} A(t) \)



Mi dificultad es que no consigo resolver la ecuación

Lo que he hecho:

\( \displaystyle\frac{dA}{dt}= k \sqrt[ ]{A} (M-A) \)

\( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{A} (M-A)} = k dt \)

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{A} (M-A)} dA = \int_{}^{} k dt \) (1)

Voy a resolver la integral de la izquierda por fracciones parciales

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{A} (M-A)} dA= \displaystyle\frac{B}{\sqrt[ ]{A}} dA + \displaystyle\frac{c}{M-A} DA \)

\( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{A} (M-A)}= \displaystyle\frac{B(M-A)+C\sqrt[ ]{A}}{\sqrt[ ]{A} (M-A)} \)

Quedando:

\( 1=B(M-A)+C\sqrt[ ]{A} \)

Si \( A=0 \) \( 1=BM \longrightarrow{B = \displaystyle\frac{1}{M}} \)

Si \( A=M \) \( 1=C\sqrt[ ]{M} \longrightarrow{C = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{M}}} \)

-Entonces la integral queda

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{1/M}{\sqrt[ ]{A}} dA + \int_{}^{} \displaystyle\frac{1/\sqrt[ ]{M}}{\sqrt[ ]{M-A}} dA \)

\( = \displaystyle\frac{1}{M} \displaystyle\int_{}^{} A^{-1/2} dA + \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{M}}  \int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{M-A} dA \)

\( = \displaystyle\frac{1}{M} 2\sqrt[ ]{A} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{M}} ln(M-A) \)

Finalmente volviendo a la ecuación (1) quedaría

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{A} (M-A)} dA = \int_{}^{} k dt \)

\(  \displaystyle\frac{1}{M} 2\sqrt[ ]{A} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{M}} ln(M-A) = kt + c \)

Pero o consigo despejar \( A \) pues esta dentro del logaritmo y dentro de la raíz y al aplicar la exponencial no llego a nada.


Muchas gracias.

[Masacroso]

No puedes separar fracciones ahí ya que el denominador no es un polinomio, mejor prueba con

\( \displaystyle{
\frac1{\sqrt{A}(M-A)}=\frac{\sqrt{A}}{A(M-A)}=\sqrt{A}\left(\frac{a}{A}+\frac{b}{M-A}\right)
} \)

Añado: además de lo anterior puedes utilizar el cambio de variable \( A=x^2 \), entonces el integrando es una función racional. Es posible que no puedas despejar \( A \), entonces la solución quedaría en forma implícita.

[Samir M.]

Hola.

Si haces el cambio \( t=\sqrt{A} \) entonces la integral \( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{A} (M-A)} dA  \) te queda \(  \)

\(  \displaystyle \dfrac{2}{M} \int \dfrac{1}{1-\frac{t^2}{M}} dt =  \dfrac{2 \sqrt{M}}{M} \int \dfrac{\frac{1}{\sqrt{M}}}{1-\left(\frac{t}{\sqrt{M}}\right)^2} dt = \dfrac{2 \tanh^{-1}{\frac{t}{\sqrt{{M}}}}}{\sqrt{M}} =  \dfrac{2 \tanh^{-1}{\sqrt{\frac{A}{M}}}}{\sqrt{M}}  \) .

y con eso puedes ya despejar \( A \).

Spoiler

\( A=M\tanh^2\left(\dfrac{\sqrt{M}kt}{2}\right) \)

[cerrar]

Saludos.

[crishchess]

No puedes separar fracciones ahí ya que el denominador no es un polinomio, mejor prueba con

\( \displaystyle{
\frac1{\sqrt{A}(M-A)}=\frac{\sqrt{A}}{A(M-A)}=\sqrt{A}\left(\frac{a}{A}+\frac{b}{M-A}\right)
} \)

Añado: además de lo anterior puedes utilizar el cambio de variable \( A=x^2 \), entonces el integrando es una función racional. Es posible que no puedas despejar \( A \), entonces la solución quedaría en forma implícita.

Muchas gracias creo que puedo continuar solo.


Saludos

[crishchess]

Hola.

Si haces el cambio \( t=\sqrt{A} \) entonces la integral \( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{A} (M-A)} dA  \) te queda \(  \)

\(  \displaystyle \dfrac{2}{M} \int \dfrac{1}{1-\frac{t^2}{M}} dt =  \dfrac{2 \sqrt{M}}{M} \int \dfrac{\frac{1}{\sqrt{M}}}{1-\left(\frac{t}{\sqrt{M}}\right)^2} dt = \dfrac{2 \tanh^{-1}{\frac{t}{\sqrt{{M}}}}}{\sqrt{M}} =  \dfrac{2 \tanh^{-1}{\sqrt{\frac{A}{M}}}}{\sqrt{M}}  \) .

y con eso puedes ya despejar \( A \).

Spoiler

\( A=M\tanh^2\left(\dfrac{\sqrt{M}kt}{2}\right) \)

[cerrar]

Saludos.

Muchas gracias  Hermoso método de solución, lo entendi perfecto y salio mas fácil \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{f(x)^{\prime}}{1-(f(x))^2}=tanh^{-1}x \)

Saludos