[zimbawe]

Hola. Espero estén pasando bien. Quería agradecer su ayuda, dado que, he pensado mucho en este ejercicio y no sé como se define la estructura de variedad en el espacio cotangente.
El enunciado es el siguiente:
Consideremos el fibrado cotangente \(  T^{*}M=\left\{{(p, \lambda)}|p \in M, \ y\ \lambda \in T^{*}_{p}M\right\}  \)
a) Construya un Atlas en \(  T^{*}M  \) de dimensión \(  2n  \) tal que la aplicación: \(  \pi: T^{*}M -> M, \pi(p, \lambda)=p  \) es una submersión.
b) Sea \(  X=T^{*}M  \) con la estructura de variedad definida en a) y consideremos la aplicación \(  \theta: X\rightarrow{T^{*}X}, p\rightarrow{\theta_p}  \) tal que \(  \theta_{(p, \lambda)}(v)=\lambda(d_{\pi_{(p, \lambda)}}(v))  \). Para \(  v \in T_{(p, \lambda)}  \). Encuentre la expresión en coordenadas de \(  \theta  \) con respecto al atlas de a) y concluya que \(  \theta  \) es una 1-forma diferenciable en \(  X  \). Con la parte a) ya pude.
Quedo muy agradecido si me pueden orientar al respecto. Un cordial saludo.

[Masacroso]

Tienes un atlas canónico en \( T^*M \) a partir del atlas de \( M \) dado por \( (x_1,\ldots,x_n , dx^1,\ldots,dx^n ) \) en \( U\times T^*U \) a partir de una carta \( (\varphi ,U) \) en \( M \) con \( \varphi =(x_1,\ldots,x_n ) \). Entonces sólo te queda demostrar que ese atlas es suave y que la proyección \( \pi \) que te definen es una submersión, es decir, que en coordenadas locales la derivada de \( \pi \) en cada punto tiene máximo rango.

La parte b) ni siquiera es una pregunta, ¿has leído el ejercicio? ¿Has intentado algo?

[zimbawe]

Hola. Con la parte a) ya pude. Porque me acabo de dar cuenta que la estructura se puede definir similarmente a como se definía con el espacio tangente. La parte b, me faltó escribir que era, pero ya lo corregí. Perdón.

[geómetracat]

Para b), trabajando en coordenadas locales puedes escribir \[ \lambda =\sum_i \lambda_i dx^i  \].
Por otro lado, puedes escribir \[ v = \sum_i v^i \partial_{x_i} + \sum_j w^j \partial_{dx^i}  \]. Entonces tienes que \[ d\pi(v) = \sum_i v^i \partial_{x_i} \]. Y ahora puedes calcular \[ \theta_{(p,\lambda)}(v) = \lambda(d\pi_p(v)) = \sum_i \lambda_i dx^i(\sum_j v^j \partial_{x_j} ) = \sum_i \lambda_i v^i = \sum_i \lambda_i dx^i (v) \]. Por tanto, la expresión en coordenadas locales es \[ \theta_{(p,\lambda)}=\sum_i \lambda_i dx^i  \].

Por cierto, esta 1-forma \[ \theta \] en el espacio cotangente de una variedad se llama forma tautológica (básicamente porque en coordenadas locales su expresión en \[ (p,\lambda) \] coincide con la expresión de \[ \lambda \] en coordenadas locales en \[ M \]), y es bastante importante en algunos contextos. Por ejemplo, su diferencial \[ d\theta \] es una forma simpléctica en \[ T^*M \] llamada la forma simpléctica canónica, con lo cual todo fibrado cotangente admite una estructura de variedad simpléctica.

[zimbawe]

Mil gracias Geometracat. Leyendo, encontré que el hecho de que sea una forma simplética (el diferencial) implica que es una 2-forma degenerada ¿Esto se puede probar o lo podemos asumir?

[geómetracat]

No, todo lo contrario. Una forma simpléctica es una \[ 2 \]-forma diferencial que es no degenerada y cerrada (es decir, su diferencial es cero).

Esto se demuestra. Que es cerrada es inmediato porque \[ dd\theta = 0 \]. Que es no degenerada se puede ver a partir de su expresión en coordenadas locales, que es \[ d\theta = \sum_i dx^i \wedge d\lambda^i \], por ejemplo viendo que el determinante de la matriz que define \[ d\theta \] en un punto es no nulo, u observando que \[ (d\theta)^n = n! dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n \wedge d\lambda^1 \wedge \dots \wedge d\lambda^n \neq 0 \].

[zimbawe]

Mil gracias. Quedo supremamente agradecido.
Quiero volver a tomar este curso para profundizar, aparte del libro de Lee, recomiendan otro libro ¿O este es el más introductorio que existe?

[geómetracat]

Es el más introductorio que conozco. Dudo que encuentres un libro que trate temas semejantes con demostraciones tan detalladas como en el libro de Lee. Por otro lado es un libro bastante completo, en cuanto a que contiene buena parte de la "cultura general" que debe saber un topólogo/geómetra diferencial.

[zimbawe]

Gracias Geometracat.