[Hola que tal]

Sea X el conjunto de todas las funciones definidas en el intervalo [0,1] en él mismo, con la métrica d definida como:

$$ d(f,g)= sup\{ |f(x)-g(x)| : x\in [0,1]\}$$

Estudiad la convergencia de la sucesión de funciones $$f_n(x)=x^n$$ con dicha métrica


Gracias!

[martiniano]

Hola.

Diría que no converge. Demuestra que para todo \[ n \] natural existen \[ \epsilon>0 \] y \[ m>n \] tales que\[ (1-\epsilon)^n>2/3 \] y \[ (1-\epsilon)^m<1/3 \]. Entonces, para todo \[ n \] existe \( m \) tal que \[ d(f_n, f_m) >1/3 \].

Al no satisfacer la condición de Cauchy no puede ser convergente.

Cualquier duda vuelve a preguntar. Un saludo.