[alumnolibre]

Hola, si alguien puede ayudarme con esta demostracion , lo agradezco de antemano

Let \( E \) be a normed space with a countable Hamel basis. Show that \( E \) is a
Banach space if and only if \( \dim E<\infty \)

[Masacroso]

Hola, si alguien puede ayudarme con esta demostracion , lo agradezco de antemano

Let \( E \) be a normed space with a countable Hamel basis. Show that \( E \) is a
Banach space if and only if \( \dim E<\infty \)

Pista: supón que \( \{v_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es una base de Hamel tal que \( \|v_n\|=1 \) para todo \( n \), entonces la sucesión \( \{\sum_{k=1}^n v_k/k^2\}_{n\in\mathbb{N}} \) es Cauchy en \( E \) pero...

[alumnolibre]

Hola, si alguien puede ayudarme con esta demostracion , lo agradezco de antemano

Let \( E \) be a normed space with a countable Hamel basis. Show that \( E \) is a
Banach space if and only if \( \dim E<\infty \)

Pista: supón que \( \{v_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es una base de Hamel tal que \( \|v_n\|=1 \) para todo \( n \), entonces la sucesión \( \{\sum_{k=1}^n v_k/k^2\}_{n\in\mathbb{N}} \) es Cauchy en \( E \) pero...

Disculpa , pero no soy capaz de entender bien la ayuda , tal vez pudieras ahondar más

[Masacroso]

Disculpa , pero no soy capaz de entender bien la ayuda , tal vez pudieras ahondar más

La anterior sucesión es de Cauchy, y por tanto si \( E \) fuese un espacio de Banach entonces el límite de tal sucesión sería un elemento de \( E \) (ya que un espacio de Banach es completo). Sin embargo, al ser una serie cuyos sumandos son todos distintos de cero, se puede demostrar fácilmente que \( v:=\sum_{k\geqslant 1}v_k/k^2 \) no puede ser descrito usando la base de Hamel, es decir, que no es combinación lineal finita de vectores de la base, y por tanto no pertenece a \( E \).