Buenas tardes he estado trabajando en un ejercicio y todavía no he podido concluir hay pasos que me traban.
Enunciado
Si \( F \) es un funcional lineal positivo sobre \( C[-1,1] \) tal que \( F(1)=1,F(x)=0 \), \( F(x^2)=0 \). Demuestre que la medida \( u \) asociada \( F \) por el Teorema de Riesz es la delta de Dirac en \( 0 \).
Avances:
Como \( F \) es un funcional lineal y positivo por el teorema de Riesz existe \( u \) con ciertas propiedades pero en particular dado \( f \) en \( C[-1,1] \) se cumple que la integral de \( f \) con respecto a \( u \) es \( F(f \)). Por otro lado demostré que dado \( f \in C[-1,1] \) la integral de \( f \) con la delta de Dirac es \( f(0) \). Por otro lado se me ocurre por Taylor tomar \( f=f(0)+f'(0)x \) luego utilizando linealidad y que \( F(1)=1 \) y \( F(x)=0 \) tendría que \( F(f)=f(0) \). Pero me causa duda como concluir la igualdad de las medida \( u \) y la delta de Dirac en \( 0 \) y no utilizar la hipótesis \( F(x^2)=0 \).
Nota:
El teorema de Riesz con el que debo trabajar tiene el siguiente enunciado
Sea \( (X,A) \) un espacio de Haussdorf localmente compacto y \( F \) un funcional lineal positivo sobre \( C_{K}(X) \) (funciones continuas con soporte compacto). entonces existe \( u \) medida de Borel completa sobre una tribu \( T \) que contiene a los borelianos tal que para todo \( f \) en \( C[−1,1] \) se cumple que la integral de \( f \) con respecto a \( u \) es \( F(f) \) . Además \( u \) es exteriormente regular sobre los medible es abierto o sigma finito es interior y es única restringida a la tribu boreliana.
Cualquier comentario o sugerencia se lo agradecería.
Gracias.
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