Hola
He encontrado una definición en un texto:
"Para una topología en \( \mathbb R \) y algún subconjunto \( A\subset \mathbb R \), consideramos un punto \( x\in \mathbb R \). Decimos que \( x \) es un punto límite por arriba de \( A \) si todo entorno de \( x \) tambien contiene un punto \( y\in A \) tal que \( x<y \) . Similarmente, un punto \( x \) es un punto límite por abajo de \( A \) si todo entorno de \( x \) tambien contiene un punto \( y\in A \) tal que \( y<x \)".
Entorno de \( x \) en esta lectura se refiere a conjunto abiertos que contiene a \( x \).
Con respecto a esa definición tengo 3 consultas:
1. Cuando dice "Para una topología en \( \mathbb R \)", ¿se refiere a cualquier topología que se pueda definir en \( \mathbb R \)?
Si.
2. ¿Se puede extender esta definición a cualquier conjunto totalmente ordenado? o quizás hay alguna condición extra o quizás con una condición más débil que ser un conjunto totalmente ordenado se pueda definir tal definición en dicha topología
Si.
3. Si \( A_l \) es el conjunto de puntos límites por abajo de \( A \), \( A_L \) es el conjunto de puntos límites por arriba de \( A \) y \( A' \) el conjunto de punto límites de \( A \), entonces ¿ \( A_l \cup A_L = A' \)?
Si. Está claro que cualquier punto límite por arriba o por abajo es un punto límite usual.
Para la otra inclusión si \( x \) es un punto límite de \( A \) entonces todo entorno de \( x \) corta a \( A-\{x\} \).
Si \( x \) no fuese ni un punto límite superior ni inferior existiría dos entornos \( U,V \) de \( x \) tales que:
\( U\cap A-\{x\}\cap (x,+\infty)=\emptyset \) y \( V\cap A-\{x\}\cap (-\infty,x)=\emptyset \)
Pero entonces:
\( U\cap V\cap A-\{x\}=U\cap V\cap A-\{x\}\cap (x,+\infty)\cup U\cap V\cap A-\{x\}\cap (-\infty,x)=\emptyset \)
es decir \( U\cap V \) sería un entorno de \( x \) que NO corta a \( A-\{x\} \) y por tanto \( x \) no sería un punto límite.
Saludos.
