Autor Tema: Sobre un caso dudoso en puntos críticos

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28 Septiembre, 2021, 11:57 am
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Fernando Revilla

  • "Há tantos burros mandando em homens de inteligência, que, às vezes, fico pensando que a burrice é uma ciência." -Antonio Aleixo.
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En el hilo Puntos críticos de una función de dos variables  se pide hallar y clasificar los puntos críticos de la función

        \(  f(x,y)=2x^4+3y^4- 4x^2y^3 \).

Al querer yo redactar la solución completa e incluirla en mi web, aparecen los puntos críticos \( (\pm 1,1) \) (ambos puntos de silla) y \( (0,0) \) (caso dudoso). En Wolfram|Alpha aparece que \( f \) no tiene extremos locales. Pues bien, he intentado estudiar el incremento

        \( \Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=2x^4+3y^4- 4x^2y^3 \).

y no he conseguido demostrar que en todo entorno del origen hay puntos en los que \( \Delta f(x,y) >0 \) y puntos en los que \( \Delta f(x,y) < 0 \).

El que uno haya resuelto muchos problemas de este tipo en cursos de preparación de ingenierías (por ejemplo: https://fernandorevilla.es/2014/04/24/puntos-criticos-cados-dudosos/) no es óbice para decir que el problema sea de extrema dificultad y esté tal vez yo poco inspirado. Si alguien tiene alguna idea, será bienvenida (con referencia pública a la misma :)).

28 Septiembre, 2021, 12:19 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En el hilo Puntos críticos de una función de dos variables  se pide hallar y clasificar los puntos críticos de la función

        \(  f(x,y)=2x^4+3y^4- 4x^2y^3 \).

Al querer yo redactar la solución completa e incluirla en mi web, aparecen los puntos críticos \( (\pm 1,1) \) (ambos puntos de silla) y \( (0,0) \) (caso dudoso). En Wolfram|Alpha aparece que \( f \) no tiene extremos locales. Pues bien, he intentado estudiar el incremento

        \( \Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=2x^4+3y^4- 4x^2y^3 \).

y no he conseguido demostrar que en todo entorno del origen hay puntos en los que \( \Delta f(x,y) >0 \) y puntos en los que \( \Delta f(x,y) < 0 \).

El que uno haya resuelto muchos problemas de este tipo en cursos de preparación de ingenierías (por ejemplo: https://fernandorevilla.es/2014/04/24/puntos-criticos-cados-dudosos/) no es óbice para decir que el problema sea de extrema dificultad y esté tal vez yo poco inspirado. Si alguien tiene alguna idea, será bienvenida (con referencia pública a la misma :)).

\( 2x^4+3y^4-4x^2y^3=2(x^2-y^2)^2+y^4+4x^2y^2-4x^2y^3=2(x^2-y^2)^2+y^4+4x^2y^2(1-y)>0 \) si \( y<1 \)

En \( (0,0) \) hay un mínimo.

Saludos.

28 Septiembre, 2021, 12:39 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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\( 2x^4+3y^4-4x^2y^3=2(x^2-y^2)^2+y^4+4x^2y^2-4x^2y^3=2(x^2-y^2)^2+y^4+4x^2y^2(1-y)>0 \) si \( y<1 \) En \( (0,0) \) hay un mínimo.
:aplauso: De acuerdo y menos mal que no encontré lo que buscaba. La duda que tengo es por qué algunos se fian de Wolfran|Alpha y otros no :). En concreto, ¿por qué tú no te fiaste?

P.D. Yo pondría \( 2(x^2-y^2)^2+y^4+4x^2y^2(1-y)\ge 0 \) si \( y < 1 \).

28 Septiembre, 2021, 01:34 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

\( 2x^4+3y^4-4x^2y^3=2(x^2-y^2)^2+y^4+4x^2y^2-4x^2y^3=2(x^2-y^2)^2+y^4+4x^2y^2(1-y)>0 \) si \( y<1 \) En \( (0,0) \) hay un mínimo.
:aplauso: De acuerdo y menos mal que no encontré lo que buscaba. La duda que tengo es por qué algunos se fian de Wolfran|Alpha y otros no :). En concreto, ¿por qué tú no te fiaste?

P.D. Yo pondría \( 2(x^2-y^2)^2+y^4+4x^2y^2(1-y)\ge 0 \) si \( y < 1 \).

Para ser sincero si me fío de Wolfram (el Mathematica), pero simplemente por el gráfico. Es decir lo primero que hago es hacer que el ordenador la dibuje y a simple vista (aunque hay que tener cuidado) uno ya se hace la idea de cual es la situación.

Por otra parte para una función polinómica si el término homogéneo de menor grado \( n \) (necesariamente par) tiene un máximo (o un mínimo) estricto local, entonces es el que manda, la función tiene un máximo o un mínimo local. Con estricto quiero decir además que lo es en toda dirección \( (x,y)=t(a,b) \).

Ya que en ese caso:

\( f(t(a,b))=t^n(\textsf{cte no nula}+\underbrace{p_{grado>0}(t)\cdot cte}_{\to 0}) \)

Si hubiera una dirección donde el máximo o minimo no fuese estricto el argumento falla por que esa "constante no nula" podría ser nula.

Saludos.

28 Septiembre, 2021, 02:47 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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 De hecho se puede enunciar un resultado general.

 Sea \( f(x,y) \) una función polinómica en dos variables. Supongamos que tiene un punto singular en \( P_0=(0,0) \) eso significa que :

\( f(x,y)=p_n(x,y)+p_{n+1}(x,y)+\ldots+p_{n+k}(x,y) \) donde \( p_i(x,y) \) es un polinomio homogéneo de grado \( i \) no nulo y \( n\geq 2 \).

 Entonces:

 - Si \( n \) es impar, \( P_0 \) es un punto de silla.
 - Si \( n \) es par entonces como consecuencia del Teorema Fundamental del Álgebra:

\( p_n(x,y)=k\displaystyle\prod_{i=1}^m(a_ix+b_iy)^{q_i}q(x,y) \) donde \( q(x,y) \) es un polinomio homogéneo de grado par positivo en todo punto salvo en \( (0,0) \).

 Y en ese caso:
       - Si \( m=0 \) entonces :
                    - si \( k>0 \) es un máximo local.
                    - si \( k<0 \) es un mínimo local.
       - Si \( m>0 \) entonces :
                    - si algún \( q_i \) es impar, entonces es un punto de silla.
                    - si todos los \( q_i \) son pares, entonces:
                                   - si \( k>0 \) es un máximo local o un punto de silla. Para saberlo hay que analizar la función sobre las direcciones \( (-b_i,a_i) \).
                                   - si \( k<0 \) es un míximo local o un punto de silla. Para saberlo hay que analizar la función sobre las direcciones \( (-b_i,a_i) \).

Saludos.

P.D. Si no me equivoco trabajando con el Polinomio de Taylor correspondiente, el mismo criterio sirve para clasificar cualquier punto crítico \( (x_0,y_0) \) de una función \( k+1 \) veces derivable que tenga alguna derivada parcial de orden \( k \) (o inferior) no nula.