1-pense que la degeneracion de las formas se relacionaba con la singularidad de las matrices de las mismas: sin embargo, ahora veo que tal vez la singularidad de la matriz podria tener sentido para un espacio vectorial ordinario y no para un espacio proyectivo (?) no se tampoco si la degeneracion tendria que ver con las caracteristicas de los vectores propios y valores propios de la matriz de la forma (?)
Sí, la degeneración tiene que ver con el rango de la matriz de la cónica (o cuádrica, más en general). Una cuádrica es no degenerada si su matriz tiene rango máximo. Entonces, por ejemplo, a la cónica \[ Z^2+YX=0 \] le corresponde la matriz
\[
\begin{bmatrix}
{0}&{1/2}&{0}\\
{1/2}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{1}
\end{bmatrix} \]
que tiene rango \[ 3 \]. Por tanto, es no degenerada.
En cambio, a la cónica de ecuación \[ X^2-Y^2=0 \] le corresponde la matriz
\[
\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}\\
{0}&{-1}&{0}\\
{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}
\]
que tiene rango 2, y por tanto la cónica es degenerada (geométricamente es un par de rectas distintas).
Todavía puedes tener cónicas más degeneradas, como \[ X^2=0 \], que corresponde geométricamente a una recta doble, y es tal que su matriz asociada tiene rango 1.
Usando álgebra lineal lo puedes relacionar también con los valores propios de la matriz: la cuádrica es no degenerada si y solo si \[ 0 \] no es valor propio de la matriz.
2-respecto del punto del infinito \( (0:1:0) \) para la forma parabolica, no alcanzo a entender el tema de la interseccion con la parabola en el plano \( z=1 \); solo se me ocurre que el punto del infinito sea la traslacion al plano \( z=1 \) del eje "y" en el plano \( z=0 \), con lo cual se tendria que el mismo corta a la parabola (en vez de ser tangente). (?)
Me parece que te estás complicando la vida. Si tienes una parábola en el plano proyectivo, por ejemplo de ecuación \[ YZ-X^2=0 \], y quieres ver la intersección con la recta del infinito, haces \[ Z=0 \] y resuelves: \[ X^2=0 \] luego \[ X=Z=0 \] y te queda como único punto solución \[ Y=(0:1:0) \]. Si quieres encontrar la ecuación de la cónica en el plano afín, deshomogeneizas la ecuación haciendo \[ x=X/Z \] e \[ y = Y/Z \] y te queda \[ y=x^2 \]. Lo de la intersección con el plano \[ Z=1 \] es esencialmente lo mismo que deshomogeneizar. Es decir, consideras que tu plano afín es el plano \[ Z=1 \] en un espacio vectorial tridimensional con coordenadas \[ (X,Y,Z) \].
3-respecto del orden del punto de interseccion en cuestion (con la parabola), me pregunto si tiene relacion con el hecho de que la submatriz de 2x2 \( \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} \) tiene rango 1, a diferencia de la submatriz \( \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} \) respectiva para el caso de la forma hiperbolica, cuyo rango es 2: si se resta la dimension en cuestion en cada caso al numero n=3 correspondiente al numero de filas-columnas de la matriz de la forma, se obtiene 2 para el caso de la parabola y 1 para el caso de la hiperbola. (?)
Sí, la diferencia tiene que ver con el rango de la matriz asociada a la "cónica del infinito", es decir, la intersección de la cónica con la recta del infinito, que si tomas como recta del infinito la \[ Z=0 \], la matriz de esta cónica del infinito es la submatriz 2x2 asociada a las variables \[ X,Y \]. De hecho, sobre los complejos una cuádrica afín queda completamente clasificada (salvo equivalencias afines) por el rango de su matriz y el rango de la matriz de la cuádrica en el infinito. En el caso real es un poquito más complicado, pero no demasiado.
Como comentario general, ¿estás siguiendo algún libro para esto? Me da la sensación de que muchas de tus dudas se resolverían si te estudiaras un libro decente de geometría proyectiva, donde todo esto de la clasificación proyectiva y afín de cuádricas esté bien hecho.
