[crishchess]

Hola tengo problemas con este ejercicio

Una empresa fabrica radios satelitales y reproductores portátiles de DVD. Obtiene una utilidad de\(  $10 \) por cada radio y de \(  $ 40  \) por cada reproductor. Debido a sus instalaciones limitadas para la producción, el número total de radios y reproductores de DVD que la empresa puede fabricar en un mes es, cuando mucho, de\(  350 \). Debido a la disponibilidad de las partes, la empresa puede fabricar, cuando mucho, \( 300 \) radios y \( 100  \) reproductores de DVD cada mes. Determine cuántos radios satelitales y reproductores de DVD debe producir la empresa cada mes para maximizar su utilidad.

Lo que he planteado:

Sea \( x \) el número de radios
Sea \( y \) el número de DVD

Función objetivo: \( f(x,y) =10x+40y \)

Restrincciones:
\( x \geq{}0 \)
\( y \geq{} 0 \)
\( x+y \leq{} 350 \)
\( x \leq{}300 \)
\( y \leq{} 100 \)

Necesito saber si lo que he planteado esta bien.

Muchas gracias

[mg]

Está perfectamente planteado, supongo que los problemas son que no sabes como hallar el máximo de la función. Pues bien si no conoces teoría de varias variables, puedes asumir que una relación entre las variables x e y es  \( x+y=350 \), porque el máximo no se va a dar si \( x,y \) suman cualquier cantidad inferior a 350.

Un saludo.

[franma]

Buenas crishchess,

Dando una alternativa a lo que plantea mg también puedes utilizar que si hay máximo este se dará en una "esquina" de la grafica.
Esto es, si graficas todas las regiones dadas por las inecuaciones, el máximo estará en uno de los vértices de la figura que te quede delimitada. Basta probar todos los vértices y quedarte con el que de el mayor resultado.

Saludos,
Franco.

[crishchess]

Muchas gracias a ambos por responder.

Al graficar me quedó este triángulo pintado en negro




Reemplazo los vértices en \( f(x,y)=10x+40y \)


\( A(250,100) \longrightarrow{} 10\cdot 150+40 \cdot  100=6500 \)
\( B(300,100) \longrightarrow{} 10\cdot 350+40 \cdot 100 =7000 \)
\( C(300,50) \longrightarrow{} 10\cdot 300+40 \cdot 50 =5000 \)

Como el máximo esta en el vértice B debe producir 300 radios y 100 reproductores de DVD para maximizar utilidad

Saludos

[Richard R Richard]

Hola. El área no está bien planteada supongo, no puedes fabricar \( 300+100 =400  \)unidades cuando claramente tienes una restricción \( x+y\leq 350 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Como indica Richard R Richard, tu solución no está en la región factible. Ésta está sombreada en este dibujo:



Saludos.

[Fernando Revilla]

Dando una alternativa a lo que plantea mg también puedes utilizar que si hay máximo este se dará en una "esquina" de la grafica. Esto es, si graficas todas las regiones dadas por las inecuaciones, el máximo estará en uno de los vértices de la figura que te quede delimitada. Basta probar todos los vértices y quedarte con el que de el mayor resultado.

Se puede evitar el probar con todos los vértices comparando las pendientes de las gráficas que delimitan la región factible con la pendiente común a las infinitas rectas paralelas \( r_z: z=ax+by \) con \( z\in\mathbb{R} \). Si \( b>0 \) mayor es \( z \) cuanto "más alta" está la recta \( r_z \) y si \( b<0 \) mayor es \( z \) cuanto "más baja" está la recta \( r_z \). Esto es especialmente útil cuando el número de vértices es grande.

[crishchess]

Si toda la razón un despiste fatal en la evaluación de la región.


Saludos