[Fernando Moreno]

Hola Luis,

Hola

Lema III: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3 \)  divide al cubo que es par.   

Como  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Establezcamos,  sin perder generalidad,  basándonos en los Lemas I y II,  que \( 2 \)  divide a una variable  \( (\alpha) \)  -y-  \( 3 \)  divide a otra  \( (\gamma) \) .  Por una parte tenemos que:  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^2-3\beta\gamma) \)  -y-  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma) \) .  Y por otra conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .  Entonces la anterior ecuación puede transformarse de la siguiente manera:  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)-3\beta\gamma(\beta+\gamma)}=(\beta+\gamma)(1-3\beta\gamma) \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta^3+\gamma^3)(1-3\beta^3\gamma^3)} \) .  Pero partimos de  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Luego  \( \alpha^3\equiv{-(\beta^3+\gamma^3)} \) .  Y esto significa en la penúltima ecuación que  \( 1-3\beta^3\gamma^3 \)  debe ser congruente con  \( 1 \)  módulo  \( 6 \) .

La afirmación en rojo no es cierta en general. No es cierto en general que:

\( x\cdot y\equiv x  \mod 6 \quad \Rightarrow{}\quad y\equiv 1\ \mod 6 \)

Para poder afirma eso necesitas que \( x \) y \( 6 \) sean coprimos.

Por ejemplo \( 2\cdot 4\equiv 2 \) mod \( 6 \).

Saludos.

Es precisamente el caso:  \( \beta^3+\gamma^3 \)  no es coprimo con  \( 6 \) .  Está mal.

Antes de seguir con otra corrección a la Versión, me gustaría saber previamente cómo verías este Lema planteado ahora de esta manera:

Lema III: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3 \)  divide al cubo que es par.   

Tenemos que  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2 \)  divide a un cubo  (\( \alpha^3 \))  -y- que \( 3 \)  divide a otro  (\( \gamma^3 \)) .  Como  \( \alpha^3,\beta^3,\gamma^3 \)  son de la forma:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3=a^3+b^3-3ab^2+3ab(a-b)\omega \)  .  Si  \( 2 \)  divide á  \( \alpha^3 \) ,  dividirá á  \( a \)  -y-  \( b \) .  Por lo que  \( \alpha^3\equiv{a^3+b^3-3ab^2+3ab(a-b)\omega} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( \alpha^3\equiv{a^3+b^3-0+0\,\omega} \) .  Luego  \( \alpha^3 \)  será congruente,  como los enteros usuales,  con  \( 2 \)  ó  \( 4 \)  módulo  \( 6 \) .  Y si  \( 3 \)  divide á  \( \gamma^3 \) ,  dividirá también á  \( a \)  -y-  \( b \) .  Por lo que  \( \gamma^3\equiv{a^3+b^3-3ab^2+3ab(a-b)\omega} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( \gamma^3\equiv{a^3+b^3-3ab^2+0\,\omega} \) .  Puesto que en  \( 3ab(a-b)\omega \)  ó  \( a \)  es par,  ó lo es  \( b \)  ó si son los dos impares,  \( 2 \)  dividirá también a ese sumando.  Luego  \( \gamma^3 \)  será congruente,  como los enteros usuales,  con  \( 3 \)  módulo  \( 6 \) .  De esta manera,  por una parte tendríamos que:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 2+1+3=0 \) .  Ó por otra parte que:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 4+5+3=0 \) .   Pero por el primer caso,  si  \( \dfrac{\alpha^3}{2}+\dfrac{\beta^3}{2}+\dfrac{\gamma^3}{2}\equiv{0} \) ,  entonces:  \( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=1+2\neq 0 \) mod \( 6 \) . Y por el segundo caso,  si \( \dfrac{\alpha^3}{4}+\dfrac{\beta^3}{4}+\dfrac{\gamma^3}{4}\equiv{0} \) ,  entonces:  \( 1+\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4}=1+2\neq 0 \) mod \( 6 \) .  Luego la premisa es falsa y la ecuación de la que partimos sólo es posible si uno de los cubos es múltiplo a la vez de  \( 2 \)  -y-  \( 3 \) .  De esta manera  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  debe dividir al cubo que es múltiplo de  \( 3 \) ;  que hemos quedado que es   \( \gamma \) .

Un saludo   
 

[Luis Fuentes]

Hola

 No puedes dividir por dos y por cuatro módulo \( 6 \), porque no son elementos inversibles en el anillo \( \Bbb Z_6 \), precisamente porque no son coprimos con \( 6 \). Fijate por ejemplo que:

\( 2\equiv 8 \) mod \( 6 \)

 Pero:

\(  \dfrac{2}{2}\not\equiv \dfrac{8}{2} \) mod \( 6 \)

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola, que no me entero que 6 no es primoo..  disculpas. Pues veo la cosa difícil jaja . Sdos

[Fernando Moreno]

Hola, corrijo por segunda vez.   


Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \)  -la raíz primitiva tercera de la unidad-; la siguiente ecuación:  \( \pmb{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0} \) ,  para  \( \alpha,\beta,\gamma \)  coprimos.   

Demostraré que existe otra suma de cubos (igual a cero) en la que  \( \lambda \)  divide menos veces al cubo que es múltiplo de  \( 3 \) ,  pudiendo repetir este procedimiento sin fin.  Para ello necesitaré principalmente dos Lemas. 

Lema I: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3^{3k} \)  divide a uno de los cubos y los otros dos serán congruentes con  \( \pm 1 \)  módulo  \( 9 \) .   

Conocemos que  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  para  \( \lambda=\omega-1 \)  primo y que las unidades de este anillo son:  \( \pm\,1\,,\,\pm\,\omega \)  -y-  \( \pm\,\omega^2 \) ,  para  \( \omega^3=1 \) .  Como  \( \alpha \) ,  por ejemplo,  es de la forma  \( a+b\omega \)  -y-  \( \omega\equiv{1} \) mod \( \lambda \) ,  entonces  \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) .  Luego si  \( \lambda \)  no divide á  \( a+b\omega \) ,  no divide á  \( a+b \) .  Supongamos que  \( \lambda \)  no divide á  \( \alpha\beta\gamma \) ;  entonces  \( 3 \)  -y-  \( 9 \)  no los dividirán.  Como  \( \alpha^3,\beta^3,\gamma^3 \)  son de la forma:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \)  .  Módulo  \( 9 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos múltiplo de  \( 3 \)  ó  que  \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) ;  puesto que si  \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( a+b \)  -y- también  \( \lambda \) .  En la primera de las situaciones es obvio que  \( (a+b\omega)^3 \)  es congruente módulo  \( 9 \)  con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  En la segunda situación,  tendríamos que  \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) .  Luego en todos los casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .  De esta manera:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Lo que no puede ser,  por lo que  \( 9 \) ,  como mínimo -y-  \( \lambda^4 \) ,  puesto que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ,  dividirán a uno de los cubos; pongamos que á  \( \gamma^3 \) .  Pero si  \( \lambda^4\mid\gamma^3 \) ,  entonces  \( \lambda^2\mid\gamma \)  -y-,  en realidad,  es  \( \lambda^6\mid\gamma^3 \) .  Nos quedamos entonces con que  \( \lambda^{6k} \)  divide,  para  \( k\in{\mathbb{N}} \) ,   á  \( \gamma^3 \)  -y-  como  \( 27=-\lambda^6 \) ;  que  \( 3^{3k} \) ,  también lo divide.     

Lema II: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces,  como mínimo,  \( 2 \)  divide a uno de los cubos y los otros dos serán congruentes con  \( 1 \)  módulo  \( 2 \) .       

Conocemos que  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 2 \)  -y- que  \( 2 \)  es primo en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Supongamos que  \( 2 \)  no divide á  \( a+b\omega \) .  Como  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3\,=\,a^3+b^3+3ab\omega(a+b\omega) \) .  Módulo  \( 2 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos pares;  en consecuencia  \( (a+b\omega)^3 \)  será congruente con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  Ó que los dos,  \( a,b \) ,  sean impares; pero entonces  \( (a+b\omega)^3\equiv{1+3\omega+3\omega^2+1}=-1\equiv{1} \) .  En definitiva,  en todos los casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .  Y como entonces tampoco podrá darse  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\equiv{0} \) mod \( 2 \) ,  para  \( \alpha \)  ó  \( \beta \)  ó  \( \gamma \)  negativos.  Concluiremos por una parte que uno de los cubos será congruente con  \( 0 \) ,  porque no pueden ser pares más que uno,  al ser éstos coprimos entre sí,  y por otra que los otros dos serán congruentes con  \( 1 \)  módulo \( 2 \) ,  positivos o negativos ambos,  o uno positivo y otro negativo.           

Me encuentro ahora ante estos dos posibles casos:   

1) Que  \( 2 \)  divida a la variable que es múltiplo de  \( 3 \) .

2) Que  \( 2 \)  divida a una variable distinta de la que divide  \( 3 \) .   

Caso 1) : 

Como  \( 2^{3l} \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  dividirá á  \( \gamma^3 \) ,  tal y como hemos quedado en el Lema I,  al ser este cubo múltiplo de  \( 3 \) .  Tendremos que  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=\alpha^3+\beta^3 \) .  Y como  \( \alpha+\beta=2\sigma \) ,  para  \( \sigma \)  un entero de Eisenstein.  Puesto que como se deduce del Lema II:  \( \alpha^3\equiv{\beta^3} \) mod \( 2 \)  -y- por tanto  \( \alpha^3-\beta^3\equiv(\alpha-\beta)((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta)\equiv{0} \) mod \( 2 \) ;  donde para  \( \alpha-\beta=x+y\omega \)  sólo puede ser éste congruente con:  \( 1+\omega \)  ,  \( 1 \)  ,  \( \omega \)  ,  \( 0 \) .  Si hacemos las siguientes sustituciones:  \( (1+\omega)((1+\omega)^2+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \)  ,   \( (1)(1+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \)  ,   \( (\omega)(\omega^2+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \) ;  vemos que sólo puede ser  \( \alpha-\beta\equiv{0} \) .  Luego entonces  \( \alpha\equiv{\beta} \) mod \( 2 \)  -y- por el mismo procedimiento obtendremos que  \( \alpha-\beta=2\tau \) ,  para  \( \tau \)  un entero de Eisenstein.   

A partir de estas 2 ecuaciones:  \( \alpha+\beta=2\sigma \)  -y-  \( \alpha-\beta=2\tau \) ;  despejando  \( \alpha \)  -y-  \( \beta \) ,  tendremos:  \( \alpha=\sigma+\tau \)  -y-  \( \beta=\sigma-\tau \) .  Luego  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=(\sigma+\tau)^3+(\sigma-\tau)^3=\sigma^3+3\sigma^2\tau+3\sigma\tau^2+\tau^3+\sigma^3-3\sigma^2\tau+3\sigma\tau^2-\tau^3 \)  -y-  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) (1) .  Si ahora divido entre  \( 3^{3k} \) ;  como  \( 3^{3k-1} \)  dividirá á  \( \sigma \) ,  obtendré que:  \( -2^{3q}\gamma`^3=2\sigma'(3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2) \) ,  para  \( \sigma'=\sigma/3^{3k-1} \) .  De esta manera,  \( 2\sigma' \)  -y-  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2 \)  serán coprimos y terceras potencias,  por ser coprimos  \( \sigma' \)  -y-  \( \tau \) ;  el primero par y el segundo impar. 

Y desde este cubo:  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2 \) ,  con algunas manipulaciones,  podemos llegar ya a vislumbrar el camino hacia otra suma de tres cubos igual a cero. 

Como  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2=(3^{3k-3/2}\sigma'+\tau i)(3^{3k-3/2}\sigma'-\tau i) \)  -y-  \( 3k-3/2=3k-2+1/2 \) .  Lo de antes es lo mismo que:  \( (3^{3k-2}\sqrt{3}\sigma'+\tau i)(3^{3k-2}\sqrt{3}\sigma'-\tau i) \) .  Y como sabemos que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \sqrt{3}=i\omega\lambda \) ,  entonces tendré que  \( (3^{3k-2}\omega\lambda i\sigma'+\tau i)(3^{3k-2}\omega\lambda i\sigma'-\tau i) \)  -y- :  \( -(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau) \) .  Es decir,  tres cubos -contando  \( (-1) \)-  ,  ya que ahora  \( 3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau \)  -y-  \( 3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau \)  serán coprimos en;  pues de su suma y su diferencia,  respectivamente:  \( 2\cdot 3^{3k-2}\lambda\sigma' \)  -y-  \( 2\tau \) ,  se deduce que el único factor común que tienen es  \( 2 \) ,  que es precisamente el que no divide á  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2 \) .       

Y ahora basta con hacer  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)=2\sigma'3^{3k-2}\lambda\omega \) .  Pero:  \( 3^{3k-2}=(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-4} \)  \( \Rightarrow \)  \( 3^{3k-2}\lambda\omega=(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-4}\lambda\omega\,=\,(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3} \) .  Luego  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)=(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3} \) (2)  -y- me encuentro ante una posible suma de  \( 3 \)  cubos en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Esto es:  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)-(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_2\beta'\,^3-\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) ,  para  \( \epsilon_{1,2,3} \)  unidades -y- :  \( \alpha'\,^3=3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau \)  ;  \( \beta'\,^3=3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau \)  ;  \( \gamma''\,^3=2\sigma' \) .   

Además,  como teníamos  \( -2^{3q}\gamma`^3=2\sigma'(3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2) \) ;  entonces, ahora:  \( -2^{3q}\gamma`^3=-2\sigma'(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau) \) .  Es decir :  \( 2^{3q}\gamma`^3=\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3\alpha'\,^3\beta'\,^3\gamma''\,^3 \) .  Luego  \( \epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3=\epsilon^3 \) ,  puesto que el producto entre unidades es otra unidad.  Y  \( \epsilon^3 \) ,  sea cual sea  \( \epsilon \) ,  es igual á  \( \pm\,1 \) (3) .   

Por otra parte,  nos encontramos también con esta congruencia -ver (2)- :  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)\equiv{(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega)^{6k-3}} \) mod \( 2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_2\beta'\,^3\equiv{0} \) mod \( 2 \) .  Y como  \( (a+b\omega)^3\equiv{1} \) mod \( 2 \)  si  \( 2 \)  no lo divide -Lema II- ;  entonces tendremos que  \( \epsilon_1+\epsilon_2\equiv{0} \) mod \( 2 \)  -y- solamente la suma o la resta de 2 unidades que son iguales nos puede dar cero en esta congruencia:  \( 1+1\,,\,\omega+\omega\,,\,-\omega^2-\omega^2\,,\,1-1\,,\,\omega-\omega\,,\,\,.\,.\,.\, \)  Luego concluimos que ambas unidades son las mismas.   

Nos situamos ahora con lo que tenemos:  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_1\beta'\,^3-\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  -si consideramos que  \( \epsilon_2=\epsilon_1 \)- .  Y si multiplico ahora por  \( \epsilon_1^2 \) ,  será:  \( \epsilon_1^3\alpha'\,^3+\epsilon_1^3\beta'\,^3-\epsilon_1^2\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) .  Pero  \( \epsilon_1^2\epsilon_3 \)  es el equivalente a lo que sucede en (3) .  Por tanto:  \( \epsilon_1^3\alpha'\,^3+\epsilon_1^3\beta'\,^3\mp\,\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pmb{\alpha''\,^3+\beta''\,^3+\gamma'''\,^3=0} \) ,  para  \( \alpha''\,^3=\epsilon_1^3\alpha'\,^3 \)  ;  \( \beta''\,^3=\epsilon_1^3\beta'\,^3 \)  -y-  \( \gamma'''\,^3=\mp\,\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3} \) .  Consumando así un descenso infinito,  pues ahora sólo  \( \lambda^{6k-3} \)  divide á  \( \gamma'''\,^3 \)  cuando antes era  \( \lambda^{6k} \)  el que dividía á  \( \gamma^3 \) (Lema I) .           

Caso 2) : 

Supongamos sin perder generalidad,  que  \( 2^{3l} \)  divide á  \( \alpha^3 \) ;  -conocemos que  \( 3^{3k} \)  divide á  \( \gamma^3 \) .  Tendremos que  \( -3^{3k}\gamma`\,^3=\alpha^3+\beta^3 \) .  Como  \( \alpha+\beta=\sigma \) ,  para algún  \( \sigma \)  entero de Eisenstein -y-  \( \alpha-\beta=\tau \) .  Despejando  \( \alpha \)  -y-  \( \beta \) ,  tendremos:  \( \alpha=\dfrac{\sigma+\tau}{2} \)  -y-  \( \beta=\dfrac{\sigma-\tau}{2} \) .  Luego  \( -3^{3k}\gamma`\,^3=\left({\dfrac{\sigma+\tau}{2}}\right)^3+\left({\dfrac{\sigma-\tau}{2}}\right)^3=\dfrac{\sigma^3+3\sigma^2\tau+3\sigma\tau^2+\tau^3+\sigma^3-3\sigma^2\tau+3\sigma\tau^2-\tau^3}{8}=\dfrac{2\sigma^3+6\sigma\tau^2}{8} \)  \( \Rightarrow \)  \( -3^{3k}\gamma`\,^3=\dfrac{1}{4}\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Y si multiplico ahora en ambos lados de la igualdad por  \( 8 \) ,  tendré:  \( -2^33^{3k}\gamma`\,^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Que es el equivalente,  para el objetivo de la demostración que nos ocupa,  a la ecuación (1) del Caso 1).  Por lo que sólo hay que seguir a partir de ahí.             


Un saludo, 

[Luis Fuentes]

Hola

Como  \( 2^{3l} \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  dividirá á  \( \gamma^3 \) ,  tal y como hemos quedado en el Lema I,  al ser este cubo múltiplo de  \( 3 \) .  Tendremos que  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=\alpha^3+\beta^3 \) .  Y como \( \alpha+\beta=2\sigma \) ,  para  \( \sigma \)  un entero de Eisenstein. Puesto que como se deduce del Lema II:  \( \alpha^3\equiv{\beta^3} \) mod \( 2 \)  -y- por tanto  \( \alpha^3-\beta^3\equiv(\alpha-\beta)((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta)\equiv{0} \) mod \( 2 \) ;  donde para  \( \alpha-\beta=x+y\omega \)  sólo puede ser éste congruente con:  \( 1+\omega \)  ,  \( 1 \)  ,  \( \omega \)  ,  \( 0 \) .  Si hacemos las siguientes sustituciones:  \( (1+\omega)((1+\omega)^2+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \)  ,   \( (1)(1+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \)  ,   \( (\omega)(\omega^2+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \) ;  vemos que sólo puede ser  \( \alpha-\beta\equiv{0} \) .  Luego entonces  \( \alpha\equiv{\beta} \) mod \( 2 \)  -y- por el mismo procedimiento obtendremos que  \( \alpha-\beta=2\tau \) ,  para  \( \tau \)  un entero de Eisenstein.   

 No lo veo; por ejemplo si \( \alpha=1 \) y \( \beta=\omega \) entonces \( \alpha^3\equiv \beta^3 \) mod \( 2 \), pero es falso que \( \alpha+\beta\equiv 0 \) mod \( 2 \).

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola,

Hola

Como  \( 2^{3l} \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  dividirá á  \( \gamma^3 \) ,  tal y como hemos quedado en el Lema I,  al ser este cubo múltiplo de  \( 3 \) .  Tendremos que  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=\alpha^3+\beta^3 \) .  Y como \( \alpha+\beta=2\sigma \) ,  para  \( \sigma \)  un entero de Eisenstein. Puesto que como se deduce del Lema II:  \( \alpha^3\equiv{\beta^3} \) mod \( 2 \)  -y- por tanto  \( \alpha^3-\beta^3\equiv(\alpha-\beta)((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta)\equiv{0} \) mod \( 2 \) ;  donde para  \( \alpha-\beta=x+y\omega \)  sólo puede ser éste congruente con:  \( 1+\omega \)  ,  \( 1 \)  ,  \( \omega \)  ,  \( 0 \) .  Si hacemos las siguientes sustituciones:  \( (1+\omega)((1+\omega)^2+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \)  ,   \( (1)(1+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \)  ,   \( (\omega)(\omega^2+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \) ;  vemos que sólo puede ser  \( \alpha-\beta\equiv{0} \) .  Luego entonces  \( \alpha\equiv{\beta} \) mod \( 2 \)  -y- por el mismo procedimiento obtendremos que  \( \alpha-\beta=2\tau \) ,  para  \( \tau \)  un entero de Eisenstein.   

 No lo veo; por ejemplo si \( \alpha=1 \) y \( \beta=\omega \) entonces \( \alpha^3\equiv \beta^3 \) mod \( 2 \), pero es falso que \( \alpha+\beta\equiv 0 \) mod \( 2 \).

Saludos.

Es cierto. Esta parte del argumento que he empleado por ejemplo es erróneo:  \( (1)(1+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \) .  Sí puede ser congruente con  \( 0 \) ,  si  \( \alpha \)  es congruente con  \( 1+\omega=-\omega^2 \)  -y-  \( \beta \)  es congruente con  \( \omega \) .  No había caído en eso. Sdos, gracias.

[Fernando Moreno]

Hola de nuevo, corrijo.   


Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \)  -la raíz primitiva tercera de la unidad-; la siguiente ecuación:  \( \pmb{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0} \) ,  para  \( \alpha,\beta,\gamma \)  coprimos.   

Demostraré que existe otra suma de cubos (igual a cero) en la que  \( \lambda \)  divide menos veces al cubo que es múltiplo de  \( 3 \) ,  pudiendo repetir este procedimiento sin fin.  Para ello necesitaré esencialmente un Lema. 

Lema: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3^{3k} \)  divide a uno de los cubos y los otros dos serán congruentes con  \( \pm 1 \)  módulo  \( 9 \) .   

Conocemos que  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  para  \( \lambda=\omega-1 \)  primo y que las unidades de este anillo son:  \( \pm\,1\,,\,\pm\,\omega \)  -y-  \( \pm\,\omega^2 \) ,  para  \( \omega^3=1 \) .  Como  \( \alpha \) ,  por ejemplo,  es de la forma  \( a+b\omega \)  -y-  \( \omega\equiv{1} \) mod \( \lambda \) ,  entonces  \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) .  Luego si  \( \lambda \)  no divide á  \( a+b\omega \) ,  no divide á  \( a+b \) .  Supongamos que  \( \lambda \)  no divide á  \( \alpha\beta\gamma \) ;  entonces  \( 3 \)  -y-  \( 9 \)  no los dividirán.  Como  \( \alpha^3,\beta^3,\gamma^3 \)  son de la forma:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \)  .  Módulo  \( 9 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos múltiplo de  \( 3 \)  ó  que  \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) ;  puesto que si  \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( a+b \)  -y- también  \( \lambda \) .  En la primera de las situaciones es obvio que  \( (a+b\omega)^3 \)  es congruente módulo  \( 9 \)  con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  En la segunda situación,  tendríamos que  \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) .  Luego en todos los casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .  De esta manera:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Lo que no puede ser,  por lo que  \( 9 \) ,  como mínimo -y-  \( \lambda^4 \) ,  puesto que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ,  dividirán a uno de los cubos; pongamos que á  \( \gamma^3 \) .  Pero si  \( \lambda^4\mid\gamma^3 \) ,  entonces  \( \lambda^2\mid\gamma \)  -y-,  en realidad,  es  \( \lambda^6\mid\gamma^3 \) .  Nos quedamos entonces con que  \( \lambda^{6k} \)  divide,  para  \( k\in{\mathbb{N}} \) ,   á  \( \gamma^3 \)  -y-  como  \( 27=-\lambda^6 \) ;  que  \( 3^{3k} \) ,  también lo divide.   

Dado que  \( 3^{3k} \)  divide á  \( \gamma^3 \) ;  entonces:  \( -3^{3k}\gamma`\,^3=\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta) \) .  Y :  \( 3^{3k-1} \)  dividirá á  \( \alpha+\beta \)  -y-  \( 3 \) á  \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta \) ,  que serán coprimos salvo por  \( 3 \) . 

Puesto que  \( \alpha+\beta=\sigma \) ,  para algún  \( \sigma \)  entero de Eisenstein -y-  \( \alpha-\beta=\tau \) .  Despejando  \( \alpha \)  -y-  \( \beta \) ,  tendremos:  \( \alpha=\dfrac{\sigma+\tau}{2} \)  -y-  \( \beta=\dfrac{\sigma-\tau}{2} \) .  Luego  \( -3^{3k}\gamma`\,^3=\left({\dfrac{\sigma+\tau}{2}}\right)^3+\left({\dfrac{\sigma-\tau}{2}}\right)^3=\dfrac{\sigma^3+3\sigma^2\tau+3\sigma\tau^2+\tau^3+\sigma^3-3\sigma^2\tau+3\sigma\tau^2-\tau^3}{8}=\dfrac{2\sigma^3+6\sigma\tau^2}{8} \)  \( \Rightarrow \)  \( -3^{3k}\gamma`\,^3=\dfrac{1}{4}\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Comprobamos que  \( 4 \)  efectivamente divide á  \( \sigma^2+3\tau^2 \) ,  dado que:  \( \sigma^2+3\tau^2=\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta+3\alpha^2+3\beta^2-6\alpha\beta=4\alpha^2+4\beta^2-4\alpha\beta \) .  Si ahora divido la ecuación entre  \( 3^{3k} \) ;  tendré entonces que:  \( -\gamma`^3=\sigma'\left({\dfrac{3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2}{4}}\right) \) (1) ,  para  \( \sigma'=\sigma/3^{3k-1} \) .  De manera que ahora  \( \sigma' \)  -y-  \( \dfrac{3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2}{4} \)  serán coprimos y terceras potencias.   

A partir de este cubo:  \( \dfrac{3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2}{4} \) ; con algunas modificaciones,  podemos llegar ya a vislumbrar el camino hacia otra suma de tres cubos igual a cero. 

Como  \( \dfrac{3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2}{4}=\left({\dfrac{3^{3k-3/2}\sigma'+\tau i}{2}}\right) \left({\dfrac{3^{3k-3/2}\sigma'-\tau i}{2}}\right) \)  -y-  \( 3k-3/2=3k-2+1/2 \) .  Lo de antes es lo mismo que:  \( \left({\dfrac{3^{3k-2}\sqrt{3}\sigma'+\tau i}{2}}\right) \left({\dfrac{3^{3k-2}\sqrt{3}\sigma'-\tau i}{2}}\right) \) .  Y como sabemos que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \sqrt{3}=i\omega\lambda \) ,  entonces tendré que  \( \left({\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda i\sigma'+\tau i}{2}}\right) \left({\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda i\sigma'-\tau i}{2}}\right) \)  -y- :  \( -\left({\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau}{2}}\right) \left({\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau}{2}}\right) \) (2) .  Es decir,  dos cubos -excluyendo  \( (-1) \)-  ,  ya que ahora  \( \dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau}{2} \)  -y-  \( \dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau}{2} \)  serán coprimos;  pues de su suma y su diferencia,  respectivamente:  \( 3^{3k-2}\omega\lambda\sigma' \)  -y-  \( \tau \) ,  es lo que se deduce; ya que ni  \( 3 \)  ni  \( \lambda \)  dividen á  \( \tau \) .     

Y ahora basta con fijarnos en esa suma:  \( \dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau}{2}\,+\,\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau}{2}=3^{3k-2}\omega\lambda\sigma' \) .  Pero:  \( 3^{3k-2}=(-\omega^2\lambda^2)^{3k-2}=(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-4} \)  -y- entonces:  \( 3^{3k-2}\lambda\omega=(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-4}\lambda\omega\,=\,(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3} \) .  Luego:  \( \dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau}{2}\,+\,\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau}{2}=(-1)^{3k-2}\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3} \) (3)  -y- me encuentro ante una posible suma de  \( 3 \)  cubos.  Esto es:  \( \dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau}{2}\,+\,\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau}{2}-(-1)^{3k-2}\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) .  Donde:  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_2\beta'\,^3-\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) ;  para  \( \epsilon_{1,2,3} \)  unidades -y- :  \( \epsilon_1\alpha'\,^3=\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau}{2} \)  ;  \( \epsilon_2\beta'\,^3=\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau}{2} \)  ;  \( \epsilon_3\gamma''\,^3=\sigma' \) .   

Además,  como partíamos de  \( -\gamma`^3=\sigma'\left({\dfrac{3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2}{4}}\right) \) (1) ;  entonces, ahora -ver (2)- :  \( -\gamma`^3=-\sigma'\left({\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau}{2}}\right) \left({\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau}{2}}\right) \) .  Es decir :  \( \gamma`^3=\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3\gamma''\,^3\alpha'\,^3\beta'\,^3 \) .  Luego  \( \epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3=\epsilon^3 \)  (4) ,  puesto que un producto de unidades es otra unidad.  Y  \( \epsilon^3 \) ,  sea cual sea  \( \epsilon \) ,  es igual á  \( \pm\,1 \) .   

Por otra parte,  nos encontramos también con esta posible congruencia -ver (3)- :  \( \dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau}{2}\,+\,\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau}{2}\equiv(-1)^{3k-2}\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3} \) mod \( 3 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_2\beta'\,^3\equiv{0} \) mod \( 3 \) .  Y como:  \( \alpha'\,^3, \beta'\,^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \)  si  \( 3 \)  no los divide -Lema- ;  entonces tendremos que  \( \pm\epsilon_1\pm\epsilon_2\equiv{0} \) mod \( 3 \) .  Pero ninguna suma o resta de unidades distintas nos puede dar algo como  \( (\omega-1)^2=-3\omega \) .  Luego ambas unidades son las mismas y se anulan.     

Nos situamos ahora con lo que tenemos:  \( \epsilon_1\alpha'\,^3-\epsilon_1\beta'\,^3-\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) ; si consideramos que  \( \epsilon_2=-\epsilon_1 \) .  Y si multiplico por  \( \epsilon_1^2 \) ,  será:  \( \epsilon_1^3\alpha'\,^3-\epsilon_1^3\beta'\,^3-\epsilon_1^2\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) .  Pero  \( \epsilon_1^2\epsilon_3 \)  es el equivalente a lo que sucede en (4) .  Por tanto:  \( \epsilon_1^3\alpha'\,^3-\epsilon_1^3\beta'\,^3\mp\,\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) .  Donde:  \( \pmb{\alpha''\,^3+\beta''\,^3+\gamma'''\,^3=0} \) ,  para  \( \alpha''\,^3=\epsilon_1^3\alpha'\,^3 \)  ;  \( \beta''\,^3=-\epsilon_1^3\beta'\,^3 \)  -y-  \( \gamma'''\,^3=\mp\,\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3} \) .  Consumando así un descenso infinito; pues ahora sólo  \( \lambda^{6k-3} \)  divide á  \( \gamma'''\,^3 \)  cuando antes era  \( \lambda^{6k} \)  el que dividía á  \( \gamma^3 \) (Lema) .         


Un saludo, 

[Luis Fuentes]

Hola

Me falta comprobar algunos detalles del final y darle un repaso, pero creo que está bien. E incluso si tuviese algún fallo sospecho que es subsanable. 

 La cosa es que es muy, muy parecida a la demostración que presentó Carlos Ivorra aquí. Vaya por delante y subrayo esto, que con eso no pretendo quitarle ni mérito ni originalidad, pero si encuadrarla en el contexto de las demostraciones conocidas.

 De hecho los tres factores cubos que dan una terna más pequeña, son los mismos que los tres factores que plantea Carlos que son\(  (\beta+\gamma),(\beta \omega+\gamma \omega^2)(\beta \omega^2+\gamma \omega) \) divididos por lo que tu llamas \( \lambda \) y él llama \( \pi \), aunque tu los obtengas expresados de otra manera.

 El descenso infinito que plantea él funciona con respecto a la potencia más alta de \( \lambda  \); el que planteas tu en función de la potencia más alta de \( 3 \). ¡Pero es que dado que \( \lambda^6=(-3)^3 \) ambas están totalmente ligadas!.

 En otras palabras la esencia de la demostración es exactamente la misma, aunque contada de otra manera.

Saludos.

[Fernando Moreno]

¡Muchas gracias Luis!

Decir solamente que yo pensaba que tenía cierta originalidad, pero tú eres el experto, tú eres quien tiene que decirlo, yo no tengo la perspectiva ni la distancia para ello. Además es cierto que la demostración tiene de base el estudio de la de Carlos, sobre todo en el tema de las unidades, lo que tiene que notarse. Todo lo que yo sé de aritmética en anillos ciclotómicos lo aprendí de Carlos Ivorra, no tengo otra fuente, para lo bueno y lo malo y fue aquí en el Foro (on-line), a la vista de todo el que quiso leerlo: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=89110.0 (Entonces me llamaba: Proyecto_dos)

Sólo me gustaría pedirte una cosa. Si después del repaso la siguieras viendo bien, ¿podrías anclarla en la Sección como una versión si acaso de la de Carlos Ivorra? Me haría ilusión 

Una vez más, gracias por las molestias de leerla y corregirla.

[Luis Fuentes]

Hola

 Por concretar la similitud. Tus tres cubos son:

\(  3^{k-2}\omega\lambda \sigma'=\dfrac{\omega\lambda}{3}\cdot \sigma=-\dfrac{1}{\omega\lambda}\sigma \) (i)

\(  -\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau}{2}=\dfrac{-1}{2}\left(-\dfrac{\sigma}{\omega\lambda}+\tau\right)=-\dfrac{1}{\omega\sigma}\cdot \dfrac{1}{2}(-\sigma+\tau\omega\lambda) \) (ii)

 Donde \( \sigma=\alpha+\beta \) y \( \tau=\alpha-\beta \). El tercero no lo pongo porque viene dado para que los tres sumen cero.

 Pero:

\(  \dfrac{1}{2}(-\sigma+\tau\omega\lambda)=\dfrac{1}{2}(-\alpha-\beta+(\alpha-\beta)(-2\omega-1))=\dfrac{1}{2}((-2-2\omega)\alpha+\beta(2\omega))=(-1-\omega)\alpha+\beta\omega=\alpha\omega^2+\beta\omega \)

 Entonces el cubo (1) es \( \sigma=\alpha+\beta \) divido por \( \lambda \) y por una unidad.
 Entonces el cubo (2) es \( \color{red}\cancel{\sigma=}\color{black}\alpha\omega^2+\beta\omega \) divido por \( \lambda \) y por una unidad.

 Son EXACTAMENTE los factores de Ivorra que él denota por \( (\beta+\gamma) \) y \( (\beta \omega^2+\gamma \omega) \) y que divide por el factor común \( \pi  \)(tu \( \lambda \)).

Sólo me gustaría pedirte una cosa. Si después del repaso la siguieras viendo bien, ¿podrías anclarla en la Sección como una versión si acaso de la de Carlos Ivorra? Me haría ilusión 

Si, claro no hay problema. Me lleva tiempo revisar porque no tengo soltura en manejar los enteros de Eisenstein, y no me funciona la intuición con ellos. Tengo que hacer todo formalmente.

Saludos.

CORREGIDO