Sin más explicaciones resulta difícil saber porqué has dividido la región en seis trozos. Si \( f(x):=4x^2,\, g(x):=20-2x \) y \( h(x):=16x+20 \) entonces tienes que
\( \displaystyle{
f(x)=g(x)\iff 4x^2=20-2x\iff 2x^2+x-10=0 \iff x=\frac{-1\pm \sqrt{1+80}}{4}\iff x\in \{-5/2,2\}\\
f(x)=h(x)\iff 4x^2=16x+20\iff x^2-4x-5=0 \iff x=\frac{4\pm \sqrt{16+20}}{2}\iff x\in\{5,-1\}\\
g(x)=h(x)\iff 20-2x=16x+20\iff 18x=0 \iff x=0
} \)
Intuitivamente, atendiendo a las formas de \( f, g \) y \( h \), vemos que un área es la comprendida entre la curva formada por la intersección de \( h \) y \( g \) acotada por debajo por \( f \). Entonces los puntos de interés son el primer corte entre \( f \) y \( h \), que designaremos como \( x_0:=-1 \), el punto de corte entre \( g \) y \( h \), que es \( x_1:=0 \), y finalmente el punto de corte más alejado (hacia la derecha) entre \( f \) y \( g \), que es \( x_2:=2 \). Por tanto el área de esa región sería
\( \displaystyle{
\int_{x_0}^{x_1}(h(x)-f(x))\mathop{}\!d x+\int_{x_1}^{x_2}(g(x)-f(x))\mathop{}\!d x
} \)
Igualmente se pueden considerar otras regiones de integración diferentes, ya que hay al menos tres regiones limitadas por \( f,g \) y \( h \), yo he considerado la región más central de las tres. Adjunto gráfico para que lo veas:
He considerado el área azul, pero bien podrían ser las áreas en rojo o amarillo, o todas a la vez.
