[Zaragoza]

Así como algunas veces anteriores colgaré 4 problemas que he estado intentando sin éxito, espero me puedan ayudar

Problema 1.- Sea $$(\Omega,\mathcal{F},\mu)$$ un espacio de medida. Sea $$p\geq 1,C\in\mathbb{R}$$ y $$f_1,f_2,\dots:\Omega\to\mathbb{R}$$ funciones medibles tales que

• $$|f_n|\leq C,\,\forall n\geq 1$$
• $$f_n\to f$$ en $$L^p$$

Entonces nos piden probar que $$|f|\leq C$$ casi siempre.

[Luis Fuentes]

Hola

Así como algunas veces anteriores colgaré 4 problemas que he estado intentando sin éxito, espero me puedan ayudar

Problema 1.- Sea $$(\Omega,\mathcal{F},\mu)$$ un espacio de medida. Sea $$p\geq 1,C\in\mathbb{R}$$ y $$f_1,f_2,\dots:\Omega\to\mathbb{R}$$ funciones medibles tales que

• $$|f_n|\leq C,\,\forall n\geq 1$$
• $$f_n\to f$$ en $$L^p$$

Entonces nos piden probar que $$|f|\leq C$$ casi siempre.

Sea \( U_m=\{x\in \Omega||f(x)|>C+\dfrac{1}{m}\} \) medible por ser \( f \) medible. Si probamos que \( \mu(U_m)=0 \) para todo \( n \) hemos terminado. ¿Por qué?.

En caso contrario \( \mu(U_m)=k>0. \) Pero entonces:

\( \displaystyle\int_{\Omega}|f_n-f|^pd\mu\geq \displaystyle\int_{U}|f_n-f|^pd\mu\geq\displaystyle\int_{\Omega}(|f|-|f_n|)^pd\mu\geq\displaystyle\int_{\Omega}\dfrac{1}{m^p}d\mu=\dfrac{k}{m^p} \)

Pero eso contradice que \( f_n\to p \).

Completa los detalles y si te surgen pregunta las dudas.

Saludos.

[Zaragoza]

Gracias, ya terminé de hacer las cuentas de lo poco que restaba que era que $$\cup_m U_m$$ tenga medida nula.