[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
El dispositivo de la figura consiste en una barra de largo \( L = 50 cm \) y masa \( M = 500g \) que puede girar sin fricción alrededor del punto O, fijo. El otro extremo de la barra está unido a un resorte de constante \( k \), cuyo otro extremo puede desplazarse a lo largo de una guía, de modo que permanece siempre paralelo a sí mismo (ver figura). El sistema se mueve en un plano horizontal. Determina el valor de \( k \) para que la frecuencia de las pequeñas oscilaciones de la barra sea \( \omega = 8,0 rad/s \)



Realice lo siguiente:

Podemos plantear el momento del sistema como:
\( -kxL\cos(\theta) =I\alpha \) donde \( \theta \) es el ángulo que forma la barra con la posición de equilibrio.

\( -kxL\cancelto{1}{\cos(\theta)} =\dfrac{ML^2}{3}\dfrac{a}{L}=\dfrac{ML}{3}a \)

Aqui utilice la aproximación \( \cos(\theta)\approx{1} \) para \( \theta \) pequeños.

Entonces obtenemos la siguiente ecuación diferencial:

\( \boxed{\ddot x + \dfrac{3k}{M}x=0} \)

Ahora sabemos que \( \omega^2=\dfrac{3k}{M} \) entonces \( 8^2=\dfrac{3k}{M} \) de donde \( k=\dfrac{64M}{3}\approx{10,66N/m} \)

¿Les parece correcto? ¿Lo resolvieron de una manera diferente?.
Si esta todo correcto entonces el largo de la barra es un dato "extra".

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Sí y no...

\( -kxL{\cos(\theta)} =\dfrac{ML^2}{3}\dfrac{a}{L\cos(\theta)} \)

\( \ddot x=-x\left(\dfrac{3K\cancelto{1}{\cos^2(\theta)}}{M}\right) \)

[franma]

Buenas Richard,

\( -kxL{\cos(\theta)} =\dfrac{ML^2}{3}\dfrac{a}{L\color{red}{}\cos(\theta)} \)

¿Ese coseno de donde sale? ¿Si la barra no gira alrededor de O el radio no es fijo?

Luego, ¿por que esperar a tener el coseno cuadrado para aproximar? ¿Es lo mismo que aproximar ambos cierto?

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

El coseno , surge porque sería la componente de la aceleracion en la direccion x... ojo, si no me equivo..., quizá más ojos...puedan darte mas certeza.
El resto lo veo bien, el coseno cuadrado tiende a 1 más lento que el propio coseno, pero igual tendera a 1  cuando el angulo tienda a 0.

[franma]

Buenas Richard,

El coseno , surge porque sería la componente de la aceleración en la dirección x... ojo, si no me equivo..., quizá más ojos...puedan darte mas certeza.

Por tu experiencia me la juego a que dices lo correcto, por mi parte no puedo argumentar en contra .

De momento para evitar confusión también se puede de la siguiente manera:

\( -kxL\cos(\theta) =I\alpha \)

Ahora notamos que \( x=\sin(\theta)L \)

\( -k\sin(\theta)L^2\cos(\theta)=\dfrac{ML^2}{3}\ddot \theta \)

Ahora utilizamos ambas aproximaciones para ángulos pequeños \( \cos(\theta)\approx{1} \) y \( \sin(\theta)\approx{\theta} \)

\( -k\theta L^2=\dfrac{ML^2}{3}\ddot \theta \)

\( \boxed{\ddot \theta+\dfrac{3k}{M}\theta=0} \)

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Si,si , así lo veo...  estaba bien.