Hola franma , como guia te sirve la misma deducción de las ecuaciones diferenciales que rigen a un péndulo.
Haz el diagrama de cuerpo libre de la esfera , cuando está en la máxima altura.
La normal a la circunferencia , no esta en la misma recta que el peso, por lo tanto el peso no es compensado totalmente en la direccion perpendicular a la normal... cual es el efecto hay una aceleración hacia el punto mas bajo de la circunferencia. Cuando la bola llega a ese punto no se detiene porque tiene energía cinetica y volverá a alcanzar un máximo del otro lado a la misma altura si no hay rozamiento, de nuevo allí empieza a regresar, pasa de nuevo por el punto más bajo a máxima velocidad y se detiene en el mismo punto donde se la dejo libre .
Los tiempos de ida y vuelta son los mismos y el movimiento es aproximadamente un MAS, siempre y cuando el angulo de la normal respecto de la vertical es pequeño.. ya veras que haré una aproximación, pues surge una ecuación diferencial que no tiene solución fácil, y por eso se trabaja con la aproximación que es mas cómoda y conocida el MAS.
Fijate que en el extremo tienes en la direccion de la normal\( \displaystyle F_\perp=0=N-mg\cos\alpha \)y perpendicular a la normal o paralela a la tangente de la circunferencia
\( \displaystyle F_\parallel=ma=-mg\sin\alpha \)
sabemos que \( a=\ddot x \)
y por trigonometría la separación respecto d la vertical de la esfera es aproximadamente
\( x=R\sin\alpha \) si el angulo \( \alpha \) es pequeño
así la ecuación anterior transforma en\( a=\ddot x=-g\sin\alpha\cong -\dfrac{g}{R}x \)
vemos entonces\( \ddot x\cong-\dfrac{g}{R}x \)
que es la ecuación diferencial de una MAS que tiene por solución es una función sinusoidal para el movimiento cuyo frecuencia angular de oscilación es
\( \omega=\sqrt{\dfrac{g}{R}} \)He tratado de ser escueto, si quedan dudas repregunta... Saludos
Pd: mientras escribía veo que Abdulai contesta en el mismo sentido
