[Soofiaa]

Sea \( \{ x_n \} \) dada por
\( x_0 > 0 \)  y \( x_{n+1} = \displaystyle\frac{1}{2}\left(x_n + \displaystyle\frac{a}{x_n} \right) \) con \( a>0 \). Encuentre el límite de la sucesión.
Aproxime \( \sqrt{\pi} \) con \( 8 \) decimales. (Indicación: use \( \epsilon = 10^{-8} \))
____

Buen día, como puedo encontrar el límite de esta sucesión? me complica que haya un \( x_{n+1} \), luego, no sé como proceder con el \( \{ x_n \} \) solicitado.

Gracias de antemano.

[Juan Pablo Sancho]

El límite está en el foro pero ahora mismo no lo encuentro.
Primero el candidato a límite, supongamamos que la recurrencia tiene límite:
\( \displaystyle L = \lim_{n \to +\infty} x_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2} \cdot (x_n + \dfrac{a}{x_n}) = \dfrac{1}{2} \cdot (L + \dfrac{a}{L})  \).
Haciendo las cuentas tenemos \( L = \sqrt{a}  \).

Tenemos la siguiente desigualdad \( u + \dfrac{1}{u} \geq 2 \) para todo \( u > 0 \)

Entonces \( \displaystyle x_{n+1} = \dfrac{1}{2} \cdot (x_n + \dfrac{a}{x_n}) = \dfrac{\sqrt{a}}{2} \cdot (\dfrac{x_n}{\sqrt{a}}  + \dfrac{\sqrt{a}}{x_n}) \geq \dfrac{\sqrt{a}}{2} \cdot 2 = \sqrt{a}  \).

Que nos indica también \(  x_n^2 \geq a  \)

\( \displaystyle x_{n+1} = \dfrac{x_n}{2} \cdot (1+\dfrac{a}{x_n^2}) \leq \dfrac{x_n}{2} \cdot (1+1) = x_n  \)

Entonces a partir de \( n = 2  \) no creciente.

[Fernando Revilla]

Sea \( \{ x_n \} \) dada por  \( x_0 > 0 \)  y \( x_{n+1} = \displaystyle\frac{1}{2}\left(x_n + \displaystyle\frac{a}{x_n} \right) \) con \( a>0 \). Encuentre el límite de la sucesión.

Aquí lo tienes resuelto https://fernandorevilla.es/2014/03/27/sucesion-recurrente-con-limite-raiz-de-2/.

P.D. Se adelantón Juan Pablo por instantes.

[Soofiaa]

Muchas gracias, me quedó clarísimo

Como adicional, si no es molestia, ¿como puedo aproximar \( \sqrt{\pi} \) con ese epsilon dado?

Un saludo

[Juan Pablo Sancho]

Puedes usar que \( 1 < \sqrt{\pi} < 2  \) y ver cuantas iteraciones te hacen falta para tener una aproximación de la raíz de uno tomando \( x_0 = 2  \) por que sabemos que las iteraciones son estrictamente decrecientes,eso nos asegurará que obtendremos como mínimo el mismo error o menor, tomando como primera aproximación \( x_0 = 2 \) hay métodos mejores para obtener el primer número pero creo que es suficiente en este caso.