[Soofiaa]

Sea \( f:X\rightarrow{X} \) y \( g:Y\rightarrow{Y} \) dos funciones, se define \( F:X\times{Y}\longrightarrow X\times{Y} \) tal que \( F(x,y)=(f(x),g(y)) \). Encuentre condiciones sobre f y g tal que dados \( U_{1} \) y \( U_{2} \) \( \subset{X\times{Y}} \), se tiene que:

                       \( F(U_{1} \cap{U_{2}}) = F(U_{1}) \cap{F(U_{2})} \)
y
                       \( F(U_{1} \cup U_{2}) = F(U_{1}) \cup F(U_{2}) \)
_____

Buen día, ¿me podrían echar una mano con esto?

Lo que entiendo es que se trata de funciones de dos variables, al tener el producto cruz entre X e Y

Tengo que \( F(x_{1},y_{1})=F(x_{2},y_{2}) \)
y si es inyectiva, entonces
\( (x_{1},y_{1})=(x_{2},y_{2}) \)

Casi intuitivamente creo que las primeras propiedades se satisfacen con eso, sin embargo, creo que me falta mucha retroalimentación.

Con lo siguiente creo que habría que ir probando de forma de que \( x \in{ALGO} \), pero me pierdo mucho al tratarse de 2 variables.

Agradecería mucho de su ayuda!

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( f:X\rightarrow{X} \) y \( g:Y\rightarrow{Y} \) dos funciones, se define \( F:X\times{Y}\longrightarrow X\times{Y} \) tal que \( F(x,y)=(f(x),g(y)) \). Encuentre condiciones sobre f y g tal que dados \( U_{1} \) y \( U_{2} \) \( \subset{X\times{Y}} \), se tiene que:

                       \( F(U_{1} \cap{U_{2}}) = F(U_{1}) \cap{F(U_{2})} \)
y
                       \( F(U_{1} \cup U_{2}) = F(U_{1}) \cup F(U_{2}) \)

En realidad para las dos primeras propiedades es indiferente que estés trabajando en un producto cartesiano. En general si tienes \( F:A\to B \) comprueba que se cumple:

- Si \( U_1,U_2\subset A \) se cumple \( F(U_1\cup U_2)=F(U_1)\cup F(U_2) \).
- Si \( U_1,U_2\subset A \) se cumple \( F(U_1\cap U_2)\subset F(U_1)\cap F(U_2) \). Pero no siempre se cumple  \( F(U_1\cap U_2)\supset F(U_1)\cap F(U_2) \).
- Si \( F \) es inyectiva entonces si es cierto que  \( F(U_1\cap U_2)\supset F(U_1)\cap F(U_2) \) y por tanto  \( F(U_1\cap U_2)=F(U_1)\cap F(U_2) \).

 Por último para adaptar eso a tu caso particular simplemente ten en cuenta que \( F(x,y)=(f(x),g(y)) \) es inyectiva si y sólo si \( f \) y \( g \) son inyectivas.

Sea ahora \( W=X_{1} \times Y_{1} \subset X \times Y \), demuestre que \( F^{-1}(W)=f^{-1}(X_{1}) \times g^{-1}(Y_{1}) \).

Simplemente aplica que significa cada cosa:

\( (x,y)\in F^{-1}(W)\quad \Rightarrow{}\quad F(x,y)\in W\quad \Rightarrow{}\quad (f(x),g(y))\in X_1\times Y_1\quad \Rightarrow{}\quad f(x)\in X_1,\,g(y)\in Y_1\quad \Rightarrow{}\quad x\in f^{-1}(X_1),\, y\in g^{-1}(Y_1)\quad \Rightarrow{}\quad (x,y)\in f^{-1}(X_{1}) \times g^{-1}(Y_{1}) \)

Intenta tu la inclusión en el otro sentido.

Demuestre que \( F \) es biyectiva si, y solo si \( f \) y \( g \) son biyectivas.

De nuevo es directo si aplicas la definición de las cosas. Tienes que probar que:

1) \( F \) inyectiva si y sólo si \( f,g \) inyectivas.
2) \( F \) sobreyectiva si y sólo si \( f,g \) sobreyectivas.

Por ejemplo para (1), que F sea inyectiva significa que \( F(x,y)=F(x',y')\quad \Rightarrow\quad (x,y)=(x',y') \). Veamos que \( f \) es inyectiva. Supongamos \( f(x)=f(x') \) y sea \( y\in Y \) cualquiera, entonces:

\( (f(x),g(y))=(f(x'),g(y))\quad \Rightarrow\quad F(x,y)=F(x',y)\quad \Rightarrow\quad (x,y)=(x',y)\quad \Rightarrow\quad x=x' \)

Continúa...

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que sí, quedé perdida a la hora de demostrar sobreyectividad de forma analítica, supongo que debo igualar el rango con el codominio, pero no logro llegar a esto.

¿Te refieres a probar que \( F:X\times Y\to X\times Y,\quad F(x,y)=(f(x),g(y)) \) es sobreyectiva si y sólo si \( f \) y \( g \) lo son? (se suponen \( X,Y \) no vacíos).

Es muy inmediato. Por ejemplo, la implicación de izquierda a derecha. Suponemos \( F \) sobreyectiva. Veamos que \( f \) y \( g \) lo son. Dados \( x'\in X \) e \( y'\in Y \), se tiene que \( (x',y')\in X\times Y \). Por ser \( F \) sobreyectiva existe \( (x,y)\in X\times Y \) tal que \( F(x,y)=(x',y') \). Por tanto \( f(x)=x' \) e \( g(y)=y' \). Y así \( f,g \) son sobreyectivas.

Saludos.