[nanotech]

Hola! Me gustaría recibir ayuda sobre el siguiente problema:



Un pequeño bloque de masa m resbala por un carril de lazo a lazo como se aprecia en la figura 12-39 (imagen adjunta).

• a. ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre él en el punto Q?
• b. ¿A qué altura sobre el fondo del lazo deberá ser saltado para que esté al límite mínimo de contacto en el punto más alto del lazo?

[franma]

Buenas,

Para la primera parte tenemos por energía:
\( E_i=mg5R \)
\( E_Q=\dfrac{mv^2}{2} + mgR \)

\( mg5R = \dfrac{mv^2}{2} + mgR \)

De aquí:
\( v^2 = 8gR \)

Dinámica en el punto Q:
\( N=\dfrac{mv^2}{R} \)
\( N=8mg \)

Así que la fuerza neta seria \( (8mg)\hat{i} - (mg)\hat{j} \)

Para la segunda parte:
Dinámica en el punto mas alto del rizo:
\( mg=\dfrac{mv^2}{R} \)

De donde \( v^2=gR \)

Ahora con energía:
\( mgH=\dfrac{mv^2}{2} + 2mgR \)

\( mgH=\dfrac{mgR}{2} + 2mgR \)

\( H=\dfrac{R}{2} + 2R \)

\( H=\dfrac{5R}{2} \)

Corregida una errata. Gracias Richard 

Espero no haber cometido ningún error (si no algún compañero del foro me lo hará saber)

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Primero plantea la conservación de la energía mecánica,  iguala las de punto P con las de punto Q, eligiendo una altura cero  de referencia común, por ejemplo en el suelo

\( mg 5R=\dfrac12mv^2+mg R \) corregido bien observado por franma...

Por un simple despeje sabrás cual es la velocidad la velocidad el bloque

\( v=\sqrt{8gR} \)

como sabes que esta en un rulo circular la aceleración que presenta en ese momento por su masas es igual a la resultante de fuerzas , que es igual a la fuerza centrípeta a la que esta sometido

\( F_c=m\dfrac{v^2}{R}=m\dfrac{8gR}{R}= \)

luego solo queda observar lo dicho la segunda ley de Newton

en el eje  x   

\( F_c=m\dfrac{v^2}{R}=8mg  \)

en el eje y el peso

\( P=mg \)

la resultante tiene módulo \( R=\sqrt{F_c^2+P^2} \)

y direccion \( \theta=\arctan\dfrac{P}{F_c} \)

hasta aquí corregido

la segunda parte es igual a esta primera pero solo con la condición de que N=0 , y debes hacer los calculo en orden inverso para hallar la altura a la cual lanzarlo

\( mg+N=m\dfrac{v^2}{R} \)

como \( N=0 \)

\( mg=m\dfrac{v^2}{R} \)

luego

\( v=\sqrt{gR} \)

y reemplazando en la ecuación de la conservación de la energía


\( mg \Delta h=\dfrac12mv^2+mg 2R \)

\( mg \Delta h=\dfrac12mgR+mg 2R=\dfrac52mgR \)

luego \( \Delta h=\dfrac52R \)




Pd. recien veo tu solución franma , la altura total del rulo es 2R no R 


Saludos

[franma]

Buenas Richard,

Primero plantea la conservación de la energía mecánica,  iguala las de punto P con las de punto Q, eligiendo una altura cero  de referencia común, por ejemplo en el suelo

\( mg 5R=\dfrac12mv^2+mg 2R \)

Por un simple despeje sabrás cual es la velocidad la velocidad el bloque

\( v=\sqrt{6gR} \)

como sabes que esta en un rulo circular la aceleración que presenta en ese momento por su masas es igual a la resultante de fuerzas , que es igual a la fuerza centrípeta a la que esta sometido

\( F_c=m\dfrac{v^2}{R}=m\dfrac{6gR}{R}=6mg \)

luego solo queda observar lo dicho la segunda ley de Newton

\( mg+N=ma_c=F_c \) la fuerza e contacto con el riel es \( 5mg=N=F_c-mg=6mg-mg  \)

la segunda parte es igual a esta primera pero solo con la condición de que N=0 , y debes hacer los calculo en orden inverso para hallar la altura a la cual lanzarlo

\( mg+N=m\dfrac{v^2}{R} \)

como \( N=0 \)

\( mg=m\dfrac{v^2}{R} \)

luego

\( v=\sqrt{gR} \)

y reemplazando en la ecuación de la conservación de la energía


\( mg \Delta h=\dfrac12mv^2+mg 2R \)

\( mg \Delta h=\dfrac12mgR+mg 2R=\dfrac52mgR \)

luego \( \Delta h=\dfrac52R \)

Pd. recien veo tu solución franma , la altura total del rulo es 2R no R 

Saludos

Ya corregí mi errata, gracias.
Para la primera parte ¿En el punto Q la altura no debería ser R y no 2R?

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Ya corregí mi errata, gracias.
Para la primera parte ¿En el punto Q la altura no debería ser R y no 2R?

Saludos,
Franco.

Pues gracias a tí también ...yo también corregí la errata mía, me quede con el punto superior de la pregunta b, en la mente y no volví a mirar el gräfico...


Saludos

[nanotech]

Ya corregí mi errata, gracias.
Para la primera parte ¿En el punto Q la altura no debería ser R y no 2R?

Saludos,
Franco.

Pues gracias a tí también ...yo también corregí la errata mía, me quede con el punto superior de la pregunta b, en la mente y no volví a mirar el gräfico...


Saludos

Hola, muchisimas gracias por vuestra ayuda, sin duda me ayudaron a resolver el problema. No obstante, me surgieron dos preguntas:
1. ¿por qué en el segundo inciso la altura final es 2R y no R?
2. ¿por qué en el segundo inciso la fuerza centripeta se toma en la componente y (\(  mg = \displaystyle\frac{mv^2}{R} \))

[Richard R Richard]

1) porque la parte más alta del lazo está a un diámetro o bien dos radios del piso.
2) porque justamente en el punto más alto a velocidad tiene dirección horizontal, por ser tangencial a la curva, y la normal al ser perpendicular será entonces vertical.
Luego el peso y la normal tienen la misma dirección y sentido y se igualan a la masa por la aceleración centrípeta.
La velocidad mínima la obtienes cuando apenas hace contacto la masa con el lazo es decir justo N=0.
Resultando en la formula que muestras.