[Soofiaa]

Si se define el mínimo común multiplo \( mcm(x,y) \) como el menor valor de \( z \) tal que \( x|z \) e \( y|z \). Probar que \( mcd(x, y) · mcm(x, y) = x · y \)


Me podrían echar una mano en esta demostración?

Creo que el camino va hacia que la multiplicación y la división son en esencia "lo mismo" pero a la inversa, no obstante, no se me ocurre una forma formal de relacionarlo con el mcm y mcd.

Agradecería mucho de su ayuda!! 

[Juan Pablo Sancho]

Si \( mcd(x,y) = d  \) tenemos que :
\( |x \cdot y | = (|x'| \cdot d) \cdot (|y'| \cdot d) = (|x'| \cdot |y'| \cdot d) \cdot d = (|x'| \cdot |y'| \cdot d) \cdot mcd(x,y)  \).

Tienes que \(  (|x'| \cdot |y'| \cdot d)  \) es un múltiplo de \( x \) y de \( y \) sea ahora \( m \) otro múltiplo de \( x \) y de \(  y  \)
\( m = x \cdot t  = (x' \cdot d) \cdot t  \) y \( m = y \cdot u  = (y' \cdot d) \cdot u  \)
Como \( mcd(x',y') = 1  \) tenemos que \( y'|t  \) y \( x'|u  \) en el primer caso por ejemplo:
\( m = (x' \cdot d) \cdot t = (x' \cdot d) \cdot (y' \cdot t')  \) entonces \(  (|x'| \cdot |y'| \cdot d) | m  \)   

[Soofiaa]

Oh, genial, muchas gracias.

Tengo una pequeña duda, a qué se refiere concretamente con los \( x'  \)e \( y' \) ?

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Si \( d = mcd(x,y)  \) entonces \( x'= \dfrac{x}{d}  \) y \( y' = \dfrac{y}{d}  \) queda \( mcd(x',y') = 1 \).