Hola
Lo bueno de las matemáticas es que los resultados a demostrar no acaban nunca. Cualquier solución que demos a un problema, genera a su vez nuevos problemas que enriquecen el de partida.
En el caso que nos ocupa, Luis ha dado una solución a hallar la relación entre los semiejes de una elipse para que contenga n círculos en determinadas condiciones. Inmediatamente surge la pregunta: La relación \( b/a = sen(Pi/2n) \) asegura que podemos encontrar tales círculos, pero ¿es única?, esto es, ¿existen mas relaciones que son compatibles con encontrar \( n \) círculos tangentes entre sí y tangentes a la elipse?.
Bajo estas condiciones es única:
- Los círculos tangentes en los vértices sobre el eje \( OX \) tienen el mismo radio que el radio de curvatura de la elipse en esos puntos.
- Los restantes círculos son tangentes a las circunferencias circundantes y en dos puntos a la elipse.
Si tengo tiempo intento justificar el porqué basándome en el enlace de
hméndez.
Otra: ¿Para cada valor de \( n \), la relación \( b/a =sen(Pi/2n) \) que asegura la existencia de círculos tangentes entre sí y tangentes a la elipse, hace que necesariamente tal familia sea simétrica respecto al eje menor?. Otra: ¿Y respecto al eje mayor?.
Bajo las condiciones anteriores la simetría es obvia. Dado que los círculos de los extremos están inequívocamente determinados por la condición del radio de curvatura y los demás son únicos si exigimos la tangencia con la circunferencia anterior y en dos puntos anteriores, entonces cada círculo se va añadiendo de manera simétrica a uno y otro lado del eje menor (esto es lo que ha dicho
feriva).
La simetría respecto al eje mayor es inmediata si exigimos que las circunferencias sean tangentes en dos puntos a las elipses.
Así podríamos inventar infinitos problemas interesantes cuya resolución daría lugar a nuevos enunciados.
Hombre si, obviamente pueden plantearse muchos problemas distintos. Pero el que nos ocupa tenía unas premisas muy definidas.
aludos.
