[Montycanario]

\( f(x)=\left |{8-x^2}\right | \)
Te faltan los tag [ tex] y [ /tex] sin los espacios.
Respecto a tu pregunta, depende de cómo te hayan definido un extremo relativo.
Si te definen extremo relativo aquel que tiene derivada nula y cumple ciertas condiciones, pues no tendría extremos relativos en esos puntos.
Pero si te lo definen como un punto en cuyo entorno todos los valores son mayores o menores, entonces si tendrá.

Pero en matemáticas no existe esa incertidumbre de que dependa de cómo me lo hayan explicado. Por ejemplo, basándonos en esta definición: Sea una función definida en el intervalo abierto \( (a, b) \). Si \( x_0 \) es un extremo local de \( f(x) \) en \( (a,b) \) y \( f(x) \) es derivable en \( x_0 \), entonces \( f'(x_0)=0 \), observamos que añade y \( f(x)  \)es derivable.  La cuestión sería si en ese enunciado teórico lo cambio por lo que ocurre en mi caso y digo: Si \( x_0 \) es un extremo local de \( f(x) \) ( y eso lo sabemos estudiando el cambio de monotonía en dicho punto) y \( f(x)  \)NO ES DERIVABLE en \( x_0 \)....podemos concluir que es un extremo aunque la \( f'(x_0)=0 \) ?

[sugata]

No me has entendido.
Si te definen extremo relativo como un punto en el que la primera derivada es cero y los puntos adyacentes son mayores (o menores). En este caso no sería extremo.
En matemáticas hay notaciones y definiciones que varían de un libro a otro o de un profesor a otro. Por eso comenté.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero en matemáticas no existe esa incertidumbre de que dependa de cómo me lo hayan explicado. Por ejemplo, basándonos en esta definición: Sea una función definida en el intervalo abierto \( (a, b) \). Si \( x_0 \) es un extremo local de \( f(x) \) en \( (a,b) \) y \( f(x) \) es derivable en \( x_0 \), entonces \( f'(x_0)=0 \), observamos que añade y \( f(x)  \)es derivable.

Eso no es una definición; es un teorema. Lo que dice ahí es que si la función es derivable en un punto \( x_0 \), entonces si tiene un extremo en ese punto necesariamente la derivada es cero.

Eso sirve para detectar candidatos a extremos en puntos donde la función es derivable:

- Si la derivada es no nula: no hay extremo.
- Si la derivada es nula, quizá lo haya. Acudiremos a la segunda derivada o estudio de monotonía para decidirlo.

La cuestión sería si en ese enunciado teórico lo cambio por lo que ocurre en mi caso y digo: Si \( x_0 \) es un extremo local de \( f(x) \) ( y eso lo sabemos estudiando el cambio de monotonía en dicho punto) y \( f(x)  \)NO ES DERIVABLE en \( x_0 \)....podemos concluir que es un extremo aunque la \( f'(x_0)=0 \) ?

 Si la función no es derivable en el punto, ese resultado no ayuda a decidir si hay extremo o no. Podría haberlo o podría no haberlo. Hay que analizarlo con otros criterios.

 ¿Has leído mi anterior respuesta?:

Hola

Como no me manejo bien con el LaTeX y no sé si se ve lo pregunto de otra manera. ¿Una función que me da que no es derivable en un punto, puede presentar un extremo en dicho punto? La función es \( |8-x^2| \).

Yo te diría categóricamente que:

- NO es necesario que una función sea derivable en un punto para que tenga un extremo relativo en él.

- Por tanto, una función NO derivable en un punto, PUEDE TENER un extremo relativo en él.

El concepto de extremo relativo es previo al concepto diferenciabilidad. Un extremo relativo es un punto donde la función presenta un máximo o un mínimo, con respecto a puntos cercanos a él. Es decir en ese punto la función toma valor más altos o iguales que en puntos cercanos a él; o más bajos o iguales.

Es justo lo que ocurre en tu función donde en \( x=pm\sqrt{8} \) la función vale cero, que es un valor más bajo o igual que cualquier otro de la función, ya que esta al ser un valor absoluto nunca toma valores negativos.



De hecho cuando uno estudia extremos de una función, los candidatos son:

- Puntos donde es derivable y la derivada se anula.
- Puntos donde no es derivable.

Saludos.

[feriva]

Pero en matemáticas no existe esa incertidumbre de que dependa de cómo me lo hayan explicado.

Claro, depende de la definición, pero una cosa son los métodos y otra las definiciones. Por ejemplo, quizá se puede hablar sin problemas de la división \( \pi /3 \), sin embargo, no podemos decir que es "divisible" (entre comillas, aplicando el algoritmo de la división quiero decir, no que dé entero o no entero) porque no hay existencia de resto; no podemos aplicar la cuenta salvo como una aproximación. Del mismo modo pasa con la derivada; la derivada es una herramienta que también sirve, por caso, para saber la inclinación de un lápiz apoyado sobre algo curvo, no sólo sirve para hallar máximos y mínimos; por una parte tienes la definición de la herramienta y por otra la definición de la cosa sobre la que aplicas la herramienta.

En mi última respuesta hacía una pregunta; con la intención de que Luis me dijera cómo era eso (que qué pasaba cuando máximo y mínimo eran iguales) pero no era directa y quizá entendió que me hacía la pregunta para mí mismo (o tal vez no la vio al aparecer después otras repuestas). Entonces, ahora, he ido a buscarla en internet; he buscado largo y tendido. La pregunta exacta, tal cual, al ponerla en el buscador no aparece o no la encuentro, pero se puede deducir la respuesta si se busca la definición formal de máximo y mínimo; que viene aquí, por ejemplo:

https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_m%C3%A1ximo_y_m%C3%ADnimo
 
Según la definición formal, el máximo es mayor o igual que cualquier otro elemento, el mínimo es menor o igual (cosa que ya dijo Luis en la primera respuesta). Por tanto, no se dice nada de que no puedan tener el mismo valor, máximo y mínimo pueden ser iguales. Si no fuera así, la definición lo advertiría.

En cuanto a si los extremos son relativos, entiendo que no hay mucha diferencia respecto de cuando son absolutos; simplemente tomamos un subconjunto de los valores de la función, un trozo donde sube y baja; y en ese conjunto restringido funciona la misma definición.

Saludos.