Buenas,
El enunciado dice lo siguiente:
Considera un sistema que consta de un bloque 1 de masa \( 4m \), un bloque 2 de masa \( m \), y un bloque 3 de masa \( m \). Los bloques están conectados entre sí por una cuerda ideal, que pasa por poleas ideales sin masa ni fricción en el eje. El bloque 3 está sobre un plano rugoso de coeficiente de fricción dinámica de valor \( \mu_k=\frac{1}{\sqrt3} \), que forma un ángulo \( \theta=30° \) con la horizontal, tal como indica la figura. Se libera el sistema a partir del reposo y comienza a moverse. Indica el módulo de la tensión.
Hasta el momento hice lo siguiente:
2da ley de Newton en los 3 cuerpos:
Cuerpo 2:
y: \( T_1 - mg = ma_1 \)
Cuerpo 1:
y: \( 2T_1 - 4mg = 4ma_2 \)
Cuerpo 3 (para este tome como eje de referencia uno paralelo al plano inclinado):
x: \( -T_1 + sin(\theta)mg + f_r = ma_3 \)
y: \( N - cos(\theta)mg=0 \)
De la ultima saco la normal y por ende la fuerza de rozamiento.
\( f_r = mgcos(\theta)\mu_k = \frac{1}{2}mg \)
Quedaría finalmente:
x: \( -T_1 + mg = ma_3 \)
Además realice la ecuación de vinculo de la cual obtuve:
\( a_{C1} + 2a_{C2} + a_{C3}=0 \)
Tendría el sistema de ecuaciones:
\begin{cases}{T_1 - mg = ma_1}\\2T_1 - 4mg = 4ma_2 \\-T_1 + mg = ma_3 \\ a_{1} + 2a_{2} + a_{3}=0\end{cases}
Es correcto el razonamiento hasta aquí? Me quede trancado para resolver el sistema ya que llego a algunos resultados extraños.
Saludos,
Franco.
Hola
Una forma :
Considerando un eje de referencia
y vertical hacia arriba (parte positiva) con
y=0 en el suelo y si
H es la altura del centro de las dos poleas más altas es constante en el tiempo, entonces si L es la longitud de la cuerda se tiene la siguiente relación entre las posiciones de los bloques :
\( L=(H-y_2)+l_2+(H-y_1)+l_1+(H-y_1)+l_3+x_3 \)
Donde \( l_2,l_1,l_3 \) son las longitudes de los arcos abrazados en las poleas por las cuerda. Polea 2 con bloque 2, polea 1 con bloque 1,..., son constantes en el tiempo.
\( x_3 \) es la posición del bloque 3 respecto a una referencia
x con origen en el centro de la polea 3 y paralela al plano inclinado.
\( L= \)
Derivando dos veces respecto al tiempo se tiene :
\( -y_2''-2y_1''+x_3''=0 \) Ec. 1
La tensión
T es la misma en la cuerda por que la soga y las poleas tienen masa cero.
Se tiene por dinámica las ecuaciones para los tres bloques :
\( T-mg=my_2'' \) Ec. 2
\( 2T-4mg=4my_1'' \) Ec. 3
\( -T+mgsen\theta\pm{mg cos \theta \ \mu}=mx_3'' \) Ec. 4
El signo más menos depende de si el bloque sube o baja eso lo dice el signo de la aceleración, se oponen.
Multiplicando por
-2 la segunda, por
-1 la tercera y por 2 la cuarta y sumando las ecuaciones
2,3,4 se tiene:
\( -6T+6mg+2mg sen \theta\pm{2mg cos \theta \ \mu}=0 \)
Despejando T se tiene :
\( T=mg(1+\displaystyle\frac{sen \theta}{6}\pm{\displaystyle\frac{\mu cos \theta}{3}}) \)
\( T=(\displaystyle\frac{13}{12}\pm{\displaystyle\frac{1}{6}}) \ mg \)
Hay que hallar \( x_3'' \) compatibilizando con la fuerza de rozamiento.
Sube \( x_3''<0 \) obviamente la fuerza de rozamiento es positiva y se tiene de la Ec. 4 :
\( x_3''=\displaystyle\frac{-g}{4} \) compatible
Baja \( x_3''>0 \) fuerza de rozamiento negativa y se tiene de la Ec. 4:
\( x_3''=\displaystyle\frac{-11g}{12} \) incompatible.
Luego \( T=\displaystyle\frac{5}{4} \ mg \)
No he hecho mucho las cuentas, ya veré con detalle, pero el método esta.
Saludos
