[mxxny]

Hola, quiero demostrar lo siguiente:

Sean $$\alpha$$, $$\beta : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ dos curvas parametrizadas por su arco, cuyas funciones curvatura verifican la relación $$ k_{\alpha} (s) = - k_{\beta} (s) $$, $$\forall s \in I \subset \mathbb{R}$$ . Prueba que existe un movimiento rígido inverso, $$M: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$, tal que $$\beta (s)=M(\alpha (s))$$ para todo $$s \in I \subset \mathbb{R}$$.

 ¿Podría alguien ayudarme a plantearlo? No sé siquiera cómo comenzar.
Gracias por adelantado.

[Luis Fuentes]

Hola

Sean $$\alpha$$, $$\beta : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ dos curvas parametrizadas por su arco, cuyas funciones curvatura verifican la relación $$ k_{\alpha} (s) = - k_{\beta} (s) $$, $$\forall s \in I \subset \mathbb{R}$$ . Prueba que existe un movimiento rígido inverso, $$M: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$, tal que $$\beta (s)=M(\alpha (s))$$ para todo $$s \in I \subset \mathbb{R}$$.

1) Primero comprueba que si tienes una curva \( \alpha(s) \) parametrizada por el parámetro longitud de arco, fijado un punto \( \alpha(t_0)=P_0 \) y un vector velocidad unitario \( \alpha'(s_0)=v_0 \), la curva queda inequívocamente determiada por la curvatura con signo \( k(s) \).

Para ello ten en cuenta que \( \alpha''(s)=k(s)N(s) \), donde \( N(s) \) es el vector normal orientado, es decir, el vector tangente girado 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj. Esto equivale a mutliplicarlo por una cierta matriz de rotación \( R \). En definitiva se  cumple la siguiente ecuación diferencial:

\( \alpha''(s)=k(s)R\alpha'(s),\qquad \alpha'(s_0)=v_0,\quad \alpha(s_0)=P_0 \)

Ahora usando los teoremas de existencia y unicidad para EDO se prueba lo que queríamos.

2) El segundo paso es probar que, fijado un \( s_0\in I \),  existe un movimiento rígido inverso del plano que lleva \( \alpha(s_0) \) en  \( \alpha(s_0) \), \( \alpha'(s_0) \) en \( \beta'(s_0) \) y cambia el signo de la curvatura de \( \alpha \) para hacerla exactamente igual a la de \( \beta \) en todo punto. Si logramos esto, unido a lo probado en (1) tenemos el resultado.

En todo esto tendremos en cuenta que los movimientos rígidos directos conservan la curvatura de una curva y los inversos cambian su signo.

Entonces  \( \alpha(s_0) \) en  \( \beta(s_0) \) se puede llevar mediante una simple traslación que conserva la curvatura y los vectores tangentes.

Después basta aplicar una simetría (que es un movimiento rígido inverso) que tenga como eje la bisectriz entre los vectores tangentes \( \alpha'(s_0) \) y \( \beta'(s_0) \), de esa forma conseguimos llevar uno en el otro y además cambiar el signo de la curvatura de \( \beta. \)

La composición entre la traslación y la simetría es el movimiento rígido inverso buscado.

Saludos.

[mxxny]

Hola, muchas gracias por las indicaciones, Luis Fuentes. En el paso 2 (construir el movimiento) he podido llegar a lo siguiente:

He considerado el valor fijo $$ s_{0} \in I $$y los puntos en las correspondientes curvas $$\alpha (s_{0})$$ y $$\beta (s_{0})$$ y las referencias de Frenet asociadas a cada una de las curvas en ese punto: $$ \{ T_{\alpha} (s_{0}), N_{\alpha} (s_{0}) \} $$ y $$ \{ T_{\beta} (s_{0}), N_{\beta} (s_{0}) \} $$.

Para construir el movimiento rígido, consideramos $$A$$ la matriz correspondiente a una simetría, que será la parte lineal del movimiento y cumplirá que:

$$A \in SO(2)$$,    $$A(T_{\alpha} (s_{0}))=T_{\beta} (s_{0})$$,    $$A(N_{\alpha} (s_{0}))= - N_{\beta} (s_{0})$$

de modo que $$ k_{\beta} (s_0) = <T'_{\beta} (s_{0}), N_{\beta} (s_{0})> = <A(T'_{\alpha} (s_{0})), -A(N_{\alpha} (s_{0}))> = - <T'_{\alpha} (s_{0}), N_{\alpha} (s_0)> = -k_{\alpha} (s_0) $$.

Y tomamos la traslación que viene dada por el vector $$x= \beta (s_{0}) - A(\alpha(s_0))$$

Así, el movimiento rígido inverso $$M$$ resultante quedaría: $$M: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, M(p)=Ap+x $$.

¿Sería esto correcto?

P.D.: No sé cómo construir la matriz $$A$$ pero tampoco sé si sería realmente necesario construirla para la resolución del ejercicio.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, muchas gracias por las indicaciones, Luis Fuentes. En el paso 2 (construir el movimiento) he podido llegar a lo siguiente:

He considerado el valor fijo $$ s_{0} \in I $$y los puntos en las correspondientes curvas $$\alpha (s_{0})$$ y $$\beta (s_{0})$$ y las referencias de Frenet asociadas a cada una de las curvas en ese punto: $$ \{ T_{\alpha} (s_{0}), N_{\alpha} (s_{0}) \} $$ y $$ \{ T_{\beta} (s_{0}), N_{\beta} (s_{0}) \} $$.

Para construir el movimiento rígido, consideramos $$A$$ la matriz correspondiente a una simetría, que será la parte lineal del movimiento y cumplirá que:

$$A \in SO(2)$$,    $$A(T_{\alpha} (s_{0}))=T_{\beta} (s_{0})$$,    $$A(N_{\alpha} (s_{0}))= - N_{\beta} (s_{0})$$

de modo que $$ k_{\beta} (s_0) = <T'_{\beta} (s_{0}), N_{\beta} (s_{0})> = <A(T'_{\alpha} (s_{0})), -A(N_{\alpha} (s_{0}))> = - <T'_{\alpha} (s_{0}), N_{\alpha} (s_0)> = -k_{\alpha} (s_0) $$.

Y tomamos la traslación que viene dada por el vector $$x= \beta (s_{0}) - A(\alpha(s_0))$$

Así, el movimiento rígido inverso $$M$$ resultante quedaría: $$M: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, M(p)=Ap+x $$.

¿Sería esto correcto?

P.D.: No sé cómo construir la matriz $$A$$ pero tampoco sé si sería realmente necesario construirla para la resolución del ejercicio.

Está bien. No estoy seguro de que quieres decir con construir \( A \). Esa matriz depende de los vectores tangentes y normales de cada curva en el punto; en todo caso se podría poner en función de ellos pero no es necesario.

Spoiler

Sería \( A=CB^{-1} \) donde \( B,C \) son repectivamente las matrices cuyas columnas son los \( T \) y \( N \) de las curvas \( \alpha \) y \( \beta \) en el punto \( s_0 \).

Además dado que son una base ortonormal, \( B^{-1}=B^t \).

[cerrar]

Saludos.

[mxxny]

No estoy seguro de que quieres decir con construir \( A \). Esa matriz depende de los vectores tangentes y normales de cada curva en el punto; en todo caso se podría poner en función de ellos pero no es necesario.

Spoiler

Sería \( A=CB^{-1} \) donde \( B,C \) son repectivamente las matrices cuyas columnas son los \( T \) y \( N \) de las curvas \( \alpha \) y \( \beta \) en el punto \( s_0 \).

Además dado que son una base ortonormal, \( B^{-1}=B^t \).

[cerrar]

Sí, me refería a eso, ahora lo tengo claro. Muchas gracias de nuevo.