Autor Tema: Carretera Peraltada.

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01 Abril, 2021, 10:42 pm
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franma

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Buenas, espero todos se encuentren bien.

Quisiera saber resolví el ejercicio correctamente y algunas dudas puntuales.
El ejercicio dice lo siguiente (adjuntare mi dibujo para cada parte, saber disculpar el Paint):

Los automóviles pueden tomar las curvas de una carretera con una rapidez mucho mayor si la carretera está inclinada o peraltada y no horizontal (Fig.7).
a) Una carretera da vuelta en un círculo de radio R = 1.0 km, y tiene un ángulo de peralte θ = 5º. ¿Qué rapidez v1 debe tener el vehículo para que no tenga que actuar una fuerza de rozamiento perpendicular al movimiento, entre los neumáticos y pavimento?
b)1) Si el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y pavimento es μs = 0.40, ¿Cuál es la rapidez máxima, vmáx, con la que el automóvil puede correr por la curva peraltada?
2) ¿A qué velocidad máxima puede andar el automóvil si la curva no es peraltada?
c) ¿Qué sucede si la rapidez del automóvil es menor que v1? ¿Bajo qué condiciones hay una rapidez mínima con la que debe circular por la curva?

Para la parte A:



x: \( \displaystyle N\sin(\theta)=ma=\frac{mv^2}{R} \)
y: \( \displaystyle N\cos(\theta)-mg=ma=0 \longrightarrow N\cos(\theta)=mg \)

Si ahora divido ambas ecuaciones me queda:
\( \displaystyle \frac{N\sin(\theta)}{N\cos(\theta)}=\frac{\frac{mv^2}{R}}{mg} \)

Simplificando obtengo:

\( \tan(\theta) = \frac{v^2}{Rg} \)

Ahora despejo para la velocidad:

\( v = \sqrt{\tan(\theta)Rg} \)

Pero si aquí remplazo con los datos el ejercicio (R = 1.0 km y ángulo de peralte θ = 5º):
Me da aproximadamente 0.9259 y aquí me pierdo totalmente en las unidades, no le encuentro sentido si fuesen km/h o m/s tampoco me parece correcto.

Ahora sigo con la parte b1):



x: \( F_{r} + \sin(\theta) = ma = \frac{mv^2}{R} \)
y: \( -\cos(\theta)mg + N = 0 \longrightarrow N=\cos(\theta)mg \)

\( \displaystyle F_{r} = \mu_{e}\cos(\theta)mg \)

\( \displaystyle  \mu_{e}\cos(\theta)mg + \sin(\theta)mg = \frac{mv^2}{R} \)

\( \displaystyle  mg(\mu_{e}\cos(\theta) + \sin(\theta)) = \frac{mv^2}{R} \)

\( \displaystyle  Rmg(\mu_{e}\cos(\theta) + \sin(\theta)) = mv^2 \)

\( \displaystyle  Rg(\mu_{e}\cos(\theta) + \sin(\theta)) = v^2 \)

\( \displaystyle  \sqrt{Rg(\mu_{e}\cos(\theta) + \sin(\theta))} = v \)

Aquí nuevamente me pierdo con las unidades y juraría que si remplazo los mismos datos que en la formula de la parte (a) la velocidad es mayor (¿No debería ser menor?)

De todos modos continuo con la parte (2)



x: \( F_{r}=ma = \frac{mv^2}{R} \)
y: \( N - mg = 0 \longrightarrow N = mg \)

\( \mu_{e}mg=\frac{mv^2}{R} \)
\( R\mu_{e}g=v^2 \longrightarrow v=\sqrt{R\mu_{e}g} \)

Esta da como se esperaba menor que la parte (1) pero sigo perdido con las unidades.

Hasta el momento llego hasta aquí, no se me ha ocurrido nada para la parte (c).
Espero alguien me pueda indicar si el ejercicio es correcto.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

01 Abril, 2021, 11:52 pm
Respuesta #1

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...

\(
v = \sqrt{\tan(\theta)Rg}
 \)


\( v = \sqrt{\tan(5)1 km \,1000m/km9.8m/s^2} =\color{blue}29.28m/s\color{black} \)  corregido disculpa framma




en B la fuerza de rozamiento , no tiene la misma dirección que la fuerza centripeta


en el eje horizontal x


\( \mu N\cos \theta+N\sin\theta=m\dfrac{v^2}{r} \)


en el vertical y


\( \mu N\sin\theta+mg =N\color{blue}\ cos\color {black} \theta \)


 despeja el sistema


en 2 resuelve lo mismo  con \( \theta =0 \)


en c  si te fijas  cuando aumenta el peralte  el rozamiento estático es insuficiente y el auto desliza lateralmente hacia el interior  cerrando la curva, es decir se invierte el sentido de la fuerza de rozamiento y nuevamente puedes  resolver el sistema para que  te indique una nueva velocidad en este caso sera la minima








Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

02 Abril, 2021, 12:40 am
Respuesta #2

franma

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Buenas Richard gracias por responder, 2 preguntas:
\( 0.488m/s \) son \( 1.7568km/h \) No es esto demasiado lento? No me imagino ningún carro andando tan lento por una carretera.
No logro entender como es que hay aceleración en el eje vertical y en la parte B.

Saludos,
Franco.
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02 Abril, 2021, 12:50 am
Respuesta #3

JCB

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Hola a tod@s.

a) Velocidad máxima en curva peraltada sin rozamiento. En la dirección del plano inclinado, planteo

\( -mg\sin\theta+\dfrac{mv^2}{R}\cos\theta=0 \),

\( v=\sqrt{gR\tan\theta}=29,3\ m/s=105,4\ km/h \).

b1) Velocidad máxima en curva peraltada con rozamiento. Igual que en a),

\( -mg\sin\theta-\mu_emg\cos\theta-\mu_e\dfrac{mv^2}{R}\sin\theta+\dfrac{mv^2}{R}\cos\theta=0 \),

\( v=\sqrt{\dfrac{gR(\sin\theta+\mu_e\cos\theta)}{\cos\theta-\mu_e\sin\theta}}=70,4\ m/s=253,3\ km/h \).

b2) Velocidad máxima en curva no peraltada con rozamiento. Considero \( \theta=0^{\circ} \), en la expresión hallada en b1).

\( v=62,6\ m/s=225,4\ km/h \).

c) Supongo que se refiere a la velocidad obtenida en el caso a). Si la velocidad es menor a la calculada, el vehículo deslizaría hacia abajo.

Saludos cordiales,
JCB.

02 Abril, 2021, 02:02 am
Respuesta #4

franma

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Buenas JCB, no termino de entender bien como despejaste todo, si no es mucha molestia algún paso anterior me ayudaría a comprender la lógica mejor.
No habría problemas de velocidad mínima si la curva no tuviese peralte verdad? Ya que el auto no estaría "deslizando hacia abajo".

Saludos,
Franco.
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02 Abril, 2021, 02:29 am
Respuesta #5

franma

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Buenas JCB, no termino de entender bien como despejaste todo, si no es mucha molestia algún paso anterior me ayudaría a comprender la lógica mejor.
No habría problemas de velocidad mínima si la curva no tuviese peralte verdad? Ya que el auto no estaría "deslizando hacia abajo".

Saludos,
Franco.

Buenas nuevamente, lo he logrado resolver y llegue al mismo resultado que JCB, para resolverlo ya que es rozamiento estático utilice \( F_{r} = \mu N \), ya que si quiero la máxima velocidad, debo tomar en cuenta la máxima fricción posible.

Saludos,
Franco.
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03 Abril, 2021, 10:52 pm
Respuesta #6

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...


Buenas Richard gracias por responder, 2 preguntas:
\( 0.488m/s \) son \( 1.7568km/h \) No es esto demasiado lento?




Ya he corregido mi resultado.






No logro entender como es que hay aceleración en el eje vertical y en la parte B.


Saludos,
Franco.




No, no hay aceleracion Franco,  estoy usando la segunda ley de newton , fíjate es que esa ecuación parte de haber considerado




\( \displaystyle \sum F_y=\mu N\sin\theta+mg -N\cos \theta =0 \)
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

04 Abril, 2021, 09:31 pm
Respuesta #7

franma

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Buenas,

Gracias por las correcciones Richard, ya lo termine de entender, te agradezco un montón!

Saludos,
Franco.
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