Si vas a usar la densidad de \[ \Bbb Q \] en \[ \Bbb R \], ¿no es más fácil decir directamente que si \[ q \] es un racional con \[ q^2<2 \] (luego \[ q<\sqrt{2} \]), entonces por densidad existe \[ q' \] racional con \[ q<q'<\sqrt{2} \] (y \[ q' \] claramente cumple \[ q'^2<2 \])?
Técnicamente lo que haces está bien, pero es dar mucha vuelta, creo yo.
Aunque la existencia de un \[ n \] tal que \[ r^2<2-\frac{1}{n}<2 \] no se sigue de que \[ 2-\frac{1}{n} \] es irracional, como parece que digas.
Eso también es verdad.
Muchas gracias, Geómetracat.
Saludos.
Me engancho en esta última parte de la discusión, espero no meter nada confuso.
Para probar que existe \(n\) tal que \(r^2 < 2-\frac1n < 2\) en \(\mathbb Q\),
se aprovecha la
propiedad arquimediana, que vale en \(\mathbb Q\),
así como en todo conjunto de números que se pueda ordenar en la recta numérica.
La
propiedad arquimediana (en \(\mathbb Q\)) dice que para todo número racional, existe un entero positivo \(n\) que es más grande. En símbolos:
\[\forall q\in\mathbb Q\,:\, \exists n\in\mathbb Z^+\,:\, n > q. \]
Esta propiedad se puede demostrar fácilmente en \(\mathbb Q\).
Primeramente, es obvio que se cumple si el número \(q<1\),
pues tomando \(n=1\) vemos que \(q<n\) siendo \(n\) entero positivo.
Si ahora asumimos que \(q\geq 1\), procedemos así:
recordemos que un número racional positivo (como lo es \(q\))
se puede escribir como fracción de dos enteros positivos \(a,b\): \(q=\dfrac ab\).
Como hemos asumido que \(q\geq 1\), el numerador es más grande (o igual) que el denominador, y además siendo ambos positivos podemos anotar:
\(0<b\leq a\).
Si ahora multiplicamos por un entero positivo mayor que el denominador,
y que además sea múltiplo de dicho denominador (por ejemplo \(2b\),
vamos a obtener un número entero positivo mayor que \(q\).
Para comprobarlo, notemos que \(q\geq 1\) porque es un entero positivo.
Entonces:
\[2b \cdot q = 2b\dfrac ab \geq 2\cdot 1 \cdot \dfrac ab > \dfrac ab = q. \]
Por otro lado, el número \(n=2b\cdot q \) es entero positivo,
ya que lo hemos elegido estratégicamente para que \(2b\) se cancele con el denominador de \(q=\dfrac ab\), con lo cual:
\[n=2b\cdot q = 2b\dfrac ab = 2\cdot a.\]
Hemos demostrado que \(n>q\).
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Esta propiedad puede usarse no sólo para buscar números grandes,
sino también números pequeños, de la forma \(1/n\), con \(n\) entero positivo,
de manera que \(1/n\) sea tan pequeño como nos haga falta.
Supongamos que ahora tenemos un número racional positivo \(u\).
Entonces \(q=1/u\) también es un racional positivo,
y la propiedad arquimediana nos dice que existe \(n\in\mathbb Z^+\)
tal que \(n>q\).
Usando que los recíprocos invierten las desigualdades, obtenemos que:
\[\dfrac1n<\dfrac 1q = u.\]
Pero además tenemos que \(1/n\) es positivo, así que podemos escribir algo más preciso:
\[0<\dfrac1n <u.\]
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Ahora lo que conviene hacer es "correr todo al 0".
Tu problema es encontrar un número \(n\) tal que
\[r^2 < 2-\frac 1n< 2.\]
siendo \(r^2\) racional (sin importar que \(q\) sea o no racional).
Primero hemos de transformar el problema para
que podamos aprovechar la propiedad del recíproco de la arquimediana,
"llevando todo al 0".
Primero restamos 2 en todos los miembros, lo cual mantiene las desigualdades:
\[r^2 {\color{red}- 2} < 2 {\color{red}-2} - \frac 1n < 2{\color{red}-2} .\]
Simplificando, queda:
\[r^2 -2 < - \frac 1n < 0 .\]
Resolver el problema de hallar un \(n\in\mathbb Z^+\) que cumpla esa desigualdad
es un problema equivalente al original.
Ahora seguimos transformando el problema para obtener
otro problema equivalente.
Multplicamos todos los miembros por \((-1)\),
lo cual es un mero cambio de signo,
que a su vez nos obliga a invertir el sentido de todas las desigualdades, y nos queda:
\[2-r^2 > \frac1n > 0.\]
Entonces preguntamos: ¿existe un número entero positivo \(n\) que cumpla esa desigualdad?
Podemos responder que sí, ya que ahora basta tomar como \(u\)
al primero miembro: \(u=2-r^2\).
Como habíamos supuesto que \(r^2 < 2\),
esto es lo mismo que decir que \(u>0\).
Todo esto que digo está guiado por la idea de "correr todo al 0",
lo cual ayuda a que uno se dé cuenta de qué detalles tiene que mirar.
Por la propiedad que vimos más arriba, del caso del recíproco arquimediano (por llamarla de algún modo),
vemos que existe \(n\) entero positivo tal que \(0 < \frac1n < u\),
lo cual equivale a escribir \(0<\frac1n < 2-q^2\).
Pero habíamos dicho que esto era equivalente a tener \(q^2<2-\dfrac1n<2\).
