[FerOliMenNewton]

Hola a todos,
Recientemente probé el siguiente enunciado:
Si \( a,m,n \) son enteros positivos y \( m \neq n \), entonces si \( a \) es par, se tiene que  \( mcd(a^{2^n}+1,a^{2^m}+1)=1 \).
Mi pregunta es: ¿Por qué de aquí se deduce que existen infinitos primos? No lo veo muy claro.
De antemano gracias.
Saludos.

[geómetracat]

Como para cada \[ n \] tienes que \[ a^{2^n}+1 \] es coprimo con todos los \[ a^{2^m}+1 \] con \[ m<n \], hay un primo \[ p_n \] que divide a \[ a^{2^n}+1 \] pero no divide a ningún \[ a^{2^m}+1 \] con \[ m<n \]. Esto te da una sucesión infinita \[ p_n \] de primos distintos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos,
Recientemente probé el siguiente enunciado:
Si \( a,m,n \) son enteros positivos y \( m \neq n \), entonces si \( a \) es par, se tiene que  \( mcd(a^{2^n}+1,a^{2^m}+1)=1 \).
Mi pregunta es: ¿Por qué de aquí se deduce que existen infinitos primos? No lo veo muy claro.
De antemano gracias.
Saludos.

Fíjate que en general si tienes una sucesión de enteros distintos de \( 1 \), \( \{x_n\} \) tales que \( mcd(x_n,x_m)=1 \) para \( n\neq m \), el mismo argumento de geómetracat muestra que existen infinitos primos.

O visto de otra forma. Si sólo hubiese un número finito de primos, sólo podrías construir una familia finita de enteros distintos coprimos dos a dos: en el momento en que repitas algún primo en la factorización dejan de ser coprimos.

Saludos.

[FerOliMenNewton]

¡Oh! Ya entendí , muchísimas gracias a ambos. Nunca había visto este tipo de demostraciones para este hecho, están muy ingeniosas. Aunque creo que la de nuestro amigo Euclides sigue siendo la más elegante hasta la fecha.
De nuevo gracias.
Saludos. 

[rojamer]

Saludos. Se podría afirmar que:

\( \left\{{p\in{\mathbb{Z}}}:p\textrm{ es primo}\right\}-\left\{{2}\right\}\subseteq\left\{{a_{n}\in{\mathbb{Z}}}:a_{n}=2n+3\right\}\\

\left\{{p\in{\mathbb{Z}}}:p\textrm{ es primo}\right\}-\left\{{2,3}\right\}\subseteq\left\{{b_{n}\in{\mathbb{Z}}}:b_{n}=\big(3(2n+3)+(-1)^{n}\big)/2\right\} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Saludos. Se podría afirmar que:

\( \left\{{p\in{\mathbb{Z^{+}}}}:p\textrm{ es primo}\right\}-\left\{{2}\right\}\subseteq\left\{{a_{n}\in{\mathbb{Z^{+}}}}:a_{n}=2n+3\right\}\\ \)

Si: ahí dices que todo primo mayor que dos es de la forma \( 2n+3 \), es decir, impar.

\( \left\{{p\in{\mathbb{Z^{+}}}}:p\textrm{ es primo}\right\}-\left\{{2,3}\right\}\subseteq\left\{{b_{n}\in{\mathbb{Z^{+}}}}:b_{n}=\big(3(2n+3)+(-1)^{n}\big)/2\right\} \)

Aquí que todo primo mayor que tres es de la forma \( 3n+4 \) ó \( 3n+5 \), es decir, no múltiplo de \( 3 \).

Saludos.

[rojamer]

Considerando que \( n \) es un entero no negativo, la idea fue hallar una sucesión que excluya a los múltiplos del primo 2; luego, otra que excluya a los múltiplos de los primos 2 y 3.

Sea \( P \) el conjunto de los números primos. Si \( p\in{P} \), entonces:

\( P-\left\{k\in{P}:k\leq{p}\right\}\subseteq\mathbb{Z^{+}}-\left\{n\in{\mathbb{Z^{+}}}:k\in{P}\wedge k\leq{p}\wedge n\textrm{ es un múltiplo de }k\right\} \)

\( P-\left\{{2}\right\}\subseteq\left\{{a_{n}\in{\mathbb{Z}}}:a_{n}=2n+3\right\}\\

P-\left\{{2,3}\right\}\subseteq\left\{{b_{n}\in{\mathbb{Z}}}:b_{n}=\big(3(2n+3)+(-1)^{n}\big)/2\right\} \)
Y si es posible... encontrar una sucesión que excluya a los múltiplos de los primos 2, 3 y 5 ... y así en adelante.

[manooooh]

Hola

Considerando que \( n \) es un entero no negativo, la idea fue hallar una sucesión que excluya a los múltiplos del primo 2; luego, otra que excluya a los múltiplos de los primos 2 y 3. Y si es posible encontrar una sucesión que excluya a los múltiplos de los primos 2, 3 y 5 ... y así en adelante.

Eso me hace pensar que puede tratarse de (o tiene relación con) la criba de Eratóstenes.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Considerando que \( n \) es un entero no negativo, la idea fue hallar una sucesión que excluya a los múltiplos del primo 2; luego, otra que excluya a los múltiplos de los primos 2 y 3. Es decir,

\( \left\{p\in{\mathbb{Z^{+}}}:p\textrm{ es primo}\right\}-\left\{2\right\}\subseteq\big(\left\{k\in{\mathbb{Z^{+}}}:k>2\right\}-\left\{k\in{\mathbb{Z^{+}}}:k\textrm{ es múltiplo de 2}\right\}\\

\left\{p\in{\mathbb{Z^{+}}}:p\textrm{ es primo}\right\}-\left\{2,3\right\}\subseteq\big(\left\{k\in{\mathbb{Z^{+}}}:k>3\right\}-\big(\left\{k\in{\mathbb{Z^{+}}}:k\textrm{ es múltiplo de 2}\right\}\cup\left\{k\in{\mathbb{Z^{+}}}:k\textrm{ es múltiplo de 3}\right\}\big) \)
Y si es posible... encontrar una sucesión que excluya a los múltiplos de los primos 2, 3 y 5 ... y así en adelante.

La cosa es que existen fórmulas de ese tipo, pero son muy lentas a la hora de calcular los primos:

https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes

https://math.stackexchange.com/questions/1201359/who-discovered-the-first-explicit-formula-for-the-n-th-prime

Saludos.