[manooooh]

Hola Luis y feriva, muchas gracias a ambos

Es como dice Luis, entendía los enunciados pero no me cuadraba cuando quería traducirlos al lenguaje simbólico.

Saludos

[feriva]

Hola Luis y feriva, muchas gracias a ambos

Es como dice Luis, entendía los enunciados pero no me cuadraba cuando quería traducirlos al lenguaje simbólico.

Hola, manooooh, buenos días.

Sí, si te leí, pero no estaba seguro de si estaba interpretando bien cuál era el problema que tenías y no quise liarla; los ejemplos decían lo que quería decir; y sin comprometerme, sin hacer valoraciones sobre si habías entendido esto o lo otro.

Era esto:

Supongo que consideras que “para todo entero” significa que se debe cumplir para todo entero que cumpla la igualdad \( ax+by=3
  \).

Por ser primo 3, sólo existen dos mcd posibles, que son 1 y 3.

1º Como existen ambos mcd, podemos decir que se cumple \( (a,b)=1\wedge(a,b)=3
  \) haciendo alusión a los distintos “a,b” que cumplen cada igualdad.

2º Pero, a la vez, referido en esta ocasión a unos mismos “a,b”, se cumple \( mcd(a,b)=1\underline{\vee}mcd(a,b)=3
  \) (con “ó” exclusiva, que no encuentro el símbolo en el editor, a ver si me dices como es el código; si existiera en latex).

3º Por otra parte, dada la igualdad \( ax+by=3
  \) (incluso considerándola falsa si se quiere) las letras no pierden generalidad en ningún caso; se pueden intercambiar los a,b conb los xy. Esto es siempre verdad, sea el mcd que sea y sea lo que sea en cuanto a otras cosas.

Ahora, si se afirma que siempre ocurre esto \( mcd(a,b)=1
  \), entonces vamos a 2º y nos agarramos a esa exclusividad considerando el caso \( {\color{red}(mcd(a,b)=1)\wedge\neg(mcd(a,b)=3)}
  \). (corregido, que lo había puesto al revés) Este caso implicaría que en lo considerado, entonces, siempre ocurriría \( mcd(x,y)=3 \) ó \( {\color{red}mcd(x,b)=3...}
  \),etc.
 [/tex]. Con lo que acudiendo a 3º está negando la verdad más amplia, el hecho de que no se pierde generalidad con las letras; con lo que resulta absurdo y ya lo tienes demostrado.

...

Pero todo este rollo es lo mismo que nos dicen sin palabras esos ejemplos.

*(¿Tiene algo que ver con lo que decías? Por curiosidad).

Saludos.

[manooooh]

Hola feriva

Supongo que consideras que “para todo entero” significa que se debe cumplir para todo entero que cumpla la igualdad \( ax+by=3
  \).

Sí, pero el enunciado no dice exactamente eso, los para todo son para las variables \( a,b \), y hay dos existenciales que afectan a las variables \( x,y \).

Por ser primo 3, sólo existen dos mcd posibles, que son 1 y 3.

No sé si me gusta llamarlo "mcd" porque de su definición se dice que es el máximo común divisor, el máximo entre dos elementos, si existe, es único, luego no pueden haber dos máximos. Quizás te referías a "dos divisores posibles", ahí estoy de acuerdo.

1º Como existen ambos mcd, podemos decir que se cumple \( (a,b)=1\wedge(a,b)=3
  \) haciendo alusión a los distintos “a,b” que cumplen cada igualdad.

2º Pero, a la vez, referido en esta ocasión a unos mismos “a,b”, se cumple \( mcd(a,b)=1\underline{\vee}mcd(a,b)=3
  \) (con “ó” exclusiva, que no encuentro el símbolo en el editor, a ver si me dices como es el código; si existiera en latex).

\( \veebar \) se hace con [tex]\veebar[/tex].

El caso 1º jamás podría darse me parece, pero entiendo lo que dices en 2º.

3º Por otra parte, dada la igualdad \( ax+by=3
  \) (incluso considerándola falsa si se quiere) las letras no pierden generalidad en ningún caso; se pueden intercambiar los a,b conb los xy. Esto es siempre verdad, sea el mcd que sea y sea lo que sea en cuanto a otras cosas.

Ahora, si se afirma que siempre ocurre esto \( mcd(a,b)=1
  \), entonces vamos a 2º y nos agarramos a esa exclusividad considerando el caso \( {\color{red}(mcd(a,b)=1)\wedge\neg(mcd(a,b)=3)}
  \). (corregido, que lo había puesto al revés) Este caso implicaría que en lo considerado, entonces, siempre ocurriría \( mcd(x,y)=3 \) ó \( {\color{red}mcd(x,b)=3...}
  \),etc.
 [/tex]. Con lo que acudiendo a 3º está negando la verdad más amplia, el hecho de que no se pierde generalidad con las letras; con lo que resulta absurdo y ya lo tienes demostrado.

...

Pero todo este rollo es lo mismo que nos dicen sin palabras esos ejemplos.

*(¿Tiene algo que ver con lo que decías? Por curiosidad).

Entiendo. Gracias!

Saludos

Corregido, gracias a Carlos

[Carlos Ivorra]

No sé si me gusta llamarlo "mcd" porque de su definición se dice que es el máximo común divisor, el máximo entre dos elementos, si existe, es único, luego no pueden haber dos máximos. Quizás te referías a "dos divisores posibles", ahí estoy de acuerdo.

Por eso no te puedes guiar. Si trabajamos en el anillo de los enteros, entonces 2 es un mcd de 4 y 6, pero -2 es otro mcd de 4 y 6.

Si trabajamos en el anillo de los polinomios con coeficientes reales, entonces \( x \) es un mcd de los polinomios \( x^2 \) y \( x^2-5x \), pero \( 2x \) es otro, y \( 3x \) es otro, y tienes que hay infinitos mcd de esos dos polinomios.

[manooooh]

Hola Carlos

Por eso no te puedes guiar. Si trabajamos en el anillo de los enteros, entonces 2 es un mcd de 4 y 6, pero -2 es otro mcd de 4 y 6.

También se me ocurrió pensar en el ejemplo típico de funciones de variable real donde muchas veces se habla de "halla los puntos críticos de \( f(x) \) y clasifícalos", en particular hallar los máximos/mínimos relativos. ¿Este sería otro ejemplo?

Pero entonces no entiendo por qué se define máximo como el único maximal de un conjunto ordenado. ¿No hay contradicción pues se afirma que el máximo de un conjunto ordenado es único, pero tenemos conjuntos ordenados con más de un máximo?

Saludos

[Carlos Ivorra]

También se me ocurrió pensar en el ejemplo típico de funciones de variable real donde muchas veces se habla de "halla los puntos críticos de \( f(x) \) y clasifícalos", en particular hallar los máximos/mínimos relativos. ¿Este sería otro ejemplo?

Es que un máximo de una función (en el sentido usual de la palabra) no es un máximo de ningún conjunto ordenado. Por ejemplo, la función \( f(x, y)=-x^2-y^2 \) tiene un máximo en el punto \( (0, 0) \), pero \( (0, 0) \) no es un máximo de ningún conjunto ordenado. Es un punto tal que \( f(0,0) \) es el máximo del conjunto ordenado de las imágenes de \( f \).

Por eso, una misma función puede tener varios máximos absolutos, que son puntos distintos cuya imagen es el mismo máximo del conjunto imagen.

Por otro lado, dos máximos relativos de una función son puntos cuyas imágenes son máximos de dos conjuntos que no tienen por qué ser el mismo, ya que si \( x \) es un máximo relativo, entonces \( f(x) \) es el máximo del conjunto de las imágenes de los puntos cercanos a \( x \), y otro máximo relativo distinto es un punto \( y \) tal que \( f(y) \) es el máximo de otro conjunto distinto, el conjunto de las imágenes de los puntos cercanos a \( y \).

En cualquier caso, los máximos (absolutos o relativos) no son máximos en el sentido de las relaciones de orden.

Pero entonces no entiendo por qué se define máximo como el único maximal de un conjunto ordenado. ¿No hay contradicción pues se afirma que el máximo de un conjunto ordenado es único, pero tenemos conjuntos ordenados con más de un máximo?

Es que no hay conjuntos ordenados con más de un máximo. Sencillamente, cuando trabajamos en los enteros, un máximo común divisor de dos enteros no es el máximo de ningún conjunto ordenado. Tanto \( 2 \) como \( -2 \) son máximos comunes divisores de \( 4 \) y \( 6 \), pero, en el sentido de las relaciones de orden, a lo sumo son maximales del conjunto de los divisores comunes de \( 4 \) y \( 6 \) respecto de la relación dada por la divisibilidad.

Se llaman máximos porque en el caso clásico de los números naturales el máximo común divisor es realmente el máximo de sus divisores comunes, pero cuando pasamos a los enteros, o a anillos arbitrarios, entonces, aunque se sigue hablando de "máximo común divisor", ya no hay ningún orden respecto del cual sean máximos.

Lo que sucede es que "máximo" no significa siempre lo mismo en matemáticas, igual que es posible hablar de grafos "bipartitos" sin que la partición correspondiente sea una partición en el sentido conjuntista y se admitan partes vacías.

Son muchas las palabras que en matemáticas tienen significados distintos según el contexto y eso no supone ningún problema. Según el contexto un "dominio" puede ser un anillo conmutativo y unitario en el que \( 1\neq 0 \), o bien un subconjunto abierto y conexo de \( \mathbb C \), o más cosas.

[manooooh]

Hola

Todo entendido, Carlos. Ahora corrijo la parte del mensaje original.

Lo que sucede es que "máximo" no significa siempre lo mismo en matemáticas, igual que es posible hablar de grafos "bipartitos" sin que la partición correspondiente sea una partición en el sentido conjuntista y se admitan partes vacías.

Me agrada que pongas ejemplos de debates anteriores.

Saludos

[geómetracat]

Aunque estrictamente no sean máximos de un conjunto ordenado, en el caso de la divisibilidad sí que hay una cierta conexión con máximos de un conjunto ordenado. Aunque quizás no aporta mucho a la discusión del hilo, lo dejo por si puede ser de interés para alguien.

La cuestión está en que en el conjunto de divisores enteros comunes a \[ a,b \] la relación de divisibilidad es un preorden (relación reflexiva y transitiva, pero no necesariamente antisimétrica). Siempre que tenemos un preorden \[ (P,\leq) \], podemos definir la relación de equivalencia en \[ P \] dada por \[ x \sim y \] si y solo si \[ x\leq y \] e \[ y \leq x \]. Entonces, la relación \[ \leq \] induce una relación de orden en el conjunto cociente \[ P/\sim \], y aquí ya podemos hablar de máximos en el sentido usual de órdenes.

Aplicado a la relación de divisibilidad en el conjunto \[ P \] de los divisores comunes de \[ a,b \], un máximo común divisor es un elemento \[ x \in P \] cuya clase de equivalencia \[ [x] \] en \[ P/\sim \] es la clase máxima con el orden inducido por la relación de divisibilidad en \[ P/\sim \]. Por tanto aunque \[ x \] no sea el máximo en ningún orden, sí es un representante del máximo de un conjunto ordenado (el cociente \[ P/\sim \]).

Lo mismo se aplica a los máximos comunes divisores de polinomios o de anillos más generales.

[feriva]

Hola, manoooh.

No sé si me gusta llamarlo "mcd" porque de su definición se dice que es el máximo común divisor, el máximo entre dos elementos, si existe, es único, luego no pueden haber dos máximos. Quizás te referías a "dos divisores posibles", ahí estoy de acuerdo.

Con “haciendo alusión a los distintos a,b” quiero decir que dada la ecuación \( ax+by=3
  \) tenemos los dos casos; por ejemplo, con a=6 y b=-3, x=1, y=1, \( 6x+(-3)y=3
  \) tienes \( (a,b)=3
  \); y cambiado los valores en las letras (para las “a,b” y “xy”) tienes \( (a,b)=1
  \). No me refiero a las mismas “a” y “b” (tendría que haber puesto unas primas o unos subíndices, pero pensé que se entendería) sino a las posibilidades que existen (entendiendo positivos).
Si, por ejemplo, fuera \( ax+by=6 \), tendrías como posibles los divisores de 6, esto es, 1,2,3,6; pero en este caso, al ser primo, pues sólo el 1 y el 3.

Saludos.