[Eparoh]

Hola a todos, en el libro Teoría descriptiva de conjuntos de Carlos Ivorra aparece el siguiente teorema:



No entiendo del todo la demostración.
Por lo que entiendo queremos demostrar que si para cada abierto \( A \) de \( Y \) se cumple que \( f^{-1}(A) \in \Sigma_\alpha^0(X) \), entonces es cierto el siguiente resultado:

Para cada \( 1 \leq \delta \leq \alpha \), si \( A \in \Sigma_\delta^0(Y) \) entonces \( f^{-1}(A) \in \Sigma_\alpha^0(X) \).

Ahora, para ver esto se procede por inducción  transfinita sobre \( \delta \).
El caso \( \delta =1 \) es simplemente nuestra hipótesis inicial sobre los abiertos de \( Y \), luego se pasa a probar que si es cierto para \( \delta < \alpha \) entonces es cierto para \( \delta +1 \). Aquí es donde tengo la duda, pues lo que estamos suponiendo es que si \( A \in \Sigma_\delta^0(Y) \) entonces \( f^{-1}(A) \in \Sigma_\alpha^0(X) \), luego lo que he marcado en amarillo en la imagen, ¿no debería ser realmente

\( f^{-1}(A)= X \setminus f^{-1}(Y \setminus A) \in \Pi_\alpha^0(X) \)

puesto que \( Y \setminus A \in \Sigma_\delta^0(Y) \)?

Si este fuera el caso, entonces lo siguiente no es correcto pues como cada \( A_n \in \Pi_\delta^0 (Y) \), sería \( f^{-1}(A_n) \in \Pi_\alpha^0(X) \) y así, \( f^{-1}(A) \in \Sigma_{\alpha+1}^0(X) \) que no es lo que queremos demostrar.

¿Estoy entendiendo algo mal o hay realmente un error en la demostración?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

[Carlos Ivorra]

Sí, es como dices, las \( \delta \) son \( \alpha \). Ahora lo cambio. Gracias una vez más.

Ah, no, espera, que es un poco más delicado. Ahora lo pienso.

[Carlos Ivorra]

El teorema tal cual está enunciado no es cierto. Lo que sucede es que la definición usual de función \( \Gamma \)-medible no es la dada en la página 8, sino precisamente la caracterización que da el teorema. No sé de dónde sacaría yo esa variante (hace muchos años que escribí el libro). Voy a hacer el cambio y comprobar que todo cuadra modificando la definición para que el teorema sea cierto por definición (que, como ya digo, es lo usual).

[Carlos Ivorra]

Vale, creo que ya está arreglado (he cambiado la definición y he hecho unos ajustes mínimos en consonancia). Creo que ahora todo cuadra. Mira la nueva versión del libro.

[Eparoh]

Hola Carlos, he visto la nueva versión y tengo algunas dudas.

En primer lugar, no entiendo entonces bajo la nueva definición por que ser \( \Pi_\alpha^0 \)-medible es equivalente a ser \( \Sigma_\alpha^0 \)-medible pues, entonces lo que estaríamos diciendo es que, por ejemplo, para el caso de \( \alpha=1 \) para cualquier función continua \( f: X \longrightarrow Y \) se tiene que \( f^{-1}(A) \) es cerrado para cada abierto \( A \) de \( Y \) lo cual no es cierto.

Ahora, para el teorema 1.10, he marcado varias cosas que creo que son erratas:



1. La marca en el enunciado, creo que debería ser \( f^{-1}(A) \in \Sigma_{\alpha+\beta-1}^0(X) \) dado que los conjuntos de Borel hemos comenzado a indexarlos desde 1 y no desde 0.

2. Por la misma razón, la segunda marca creo que debería ser \( \beta=1 \).

3. En la tercera marca, por un lado al haber cambiado la indexación, el subíndice de la hipótesis de inducción sería \( \alpha+\beta-1 \), y por otro lado, creo que sería \( \Pi \) en lugar de \( \Sigma \).

4. Por último, de nuevo por el cambio en la indexación, el subíndice sería ahora \( \alpha + \beta \).

Por último, esta duda igual merece un nuevo tema pues se refiere concretamente a una parte de la demostración del teorema 1.11, pero la incluyo aquí y si lo consideras pertinente la movemos a un nuevo tema.
La duda en el teorema 1.11 es sobre el final de la demostración, respecto a que la regularidad de \( \omega_1 \) implique que exista un \( \alpha < \omega_1 \) tal que \( f^{-1}(U_n) \in \Sigma_\alpha^0 \) para cada \( n \in \omega \).

Entiendo que el razonamiento sería como sigue:
Tenemos la sucesión \( \{\alpha_n: n \in \omega\} \) tal que \( \alpha_n < \omega_1 \) y \( \omega \) es un ordinal límite menor que \( \omega_1 \), luego como \( \omega_1 \) es un cardinal regular tenemos que \( \alpha=\sup\{\alpha_n: n \in \omega\} < \omega_1 \), y teniendo este \( \alpha \) ya es claro el resto.

Ahora, mi problema es que la definición de cardinal regular que yo conozco es la siguiente:

Un cardinal infinito \( \kappa \) se llama singular si existe una sucesión transfinita creciente \( \{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) de ordinales \( \alpha_\nu < \kappa \) cuya longitud \( \vartheta \) es un ordinal límite menor que \( \kappa \) y tal que \( \kappa=\sup\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \).
Un cardinal infinito que no es singular se dice regular.

Entonces, estoy intentando ver que en la definición anterior la condición de que la sucesión sea creciente es innecesaria (con lo cual ya entendería perfectamente la validez del razonamiento anterior), lo cual parece obvio pues al tomar el supremo no parece importar el orden, pero no consigo probarlo.
Es decir, quiero probar que si \( \kappa \) es un cardinal regular, entonces dada cualquier sucesión transfinita \( \{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) de ordinales \( \alpha_\nu < \kappa \) cuya longitud \( \vartheta \) es un ordinal límite menor que \( \kappa \), entonces \( \sup\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} < \kappa \).

Mi idea era pues probar que de alguna forma podía extraer de la sucesión anterior una subsucesión creciente con el mismo supremo y de este modo, por la definición que tengo de cardinal regular ya estaría hecho, pero no consigo demostrar de forma rigurosa la existencia de dicha subsucesión.
¿Alguna idea respecto a este problema?

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

En primer lugar, no entiendo entonces bajo la nueva definición por que ser \( \Pi_\alpha^0 \)-medible es equivalente a ser \( \Sigma_\alpha^0 \)-medible pues, entonces lo que estaríamos diciendo es que, por ejemplo, para el caso de \( \alpha=1 \) para cualquier función continua \( f: X \longrightarrow Y \) se tiene que \( f^{-1}(A) \) es cerrado para cada abierto \( A \) de \( Y \) lo cual no es cierto.

Sí, eso es un resto que ha quedado de la definición antigua. En cuanto tenga un rato lo quito.

Ahora, para el teorema 1.10, he marcado varias cosas que creo que son erratas:

¡Ah! las erratas se multiplican. Sí, es una cuestión de poner los índices bien. Gracias.

La duda en el teorema 1.11 es sobre el final de la demostración, respecto a que la regularidad de \( \omega_1 \) implique que exista un \( \alpha < \omega_1 \) tal que \( f^{-1}(U_n) \in \Sigma_\alpha^0 \) para cada \( n \in \omega \).

Entiendo que el razonamiento sería como sigue:
Tenemos la sucesión \( \{\alpha_n: n \in \omega\} \) tal que \( \alpha_n < \omega_1 \) y \( \omega \) es un ordinal límite menor que \( \omega_1 \), luego como \( \omega_1 \) es un cardinal regular tenemos que \( \alpha=\sup\{\alpha_n: n \in \omega\} < \omega_1 \), y teniendo este \( \alpha \) ya es claro el resto.

En efecto, eso es consecuencia de que \( \omega_1 \) es un cardinal regular, pero si tienes que trabajar para relacionarlo con tu definición de cardinal regular, justo para esto tienes un camino más corto: la unión numerable de conjuntos numerables es numerable.

En este caso, los ordinales \( \alpha_n \) son numerables, y su supremo no es ni más ni menos que su unión, luego es un ordinal (la unión de un conjunto ordinales siempre lo es) numerable (por ser unión numerable de conjuntos numerables), luego es un ordinal menor que \( \omega_1 \), que es el menor ordinal no numerable.

Ahora, mi problema es que la definición de cardinal regular que yo conozco es la siguiente:

Un cardinal infinito \( \kappa \) se llama singular si existe una sucesión transfinita creciente \( \{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) de ordinales \( \alpha_\nu < \kappa \) cuya longitud \( \vartheta \) es un ordinal límite menor que \( \kappa \) y tal que \( \kappa=\sup\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \).
Un cardinal infinito que no es singular se dice regular.

Entonces, estoy intentando ver que en la definición anterior la condición de que la sucesión sea creciente es innecesaria (con lo cual ya entendería perfectamente la validez del razonamiento anterior), lo cual parece obvio pues al tomar el supremo no parece importar el orden, pero no consigo probarlo.

Más en general: Sea \( \kappa \) un cardinal regular y sea \( A\subset \kappa \) un conjunto con \( |A|<\kappa \). Entonces \( \sup A = \bigcup A <\kappa \).

En efecto, \( A \) es un conjunto bien ordenado, y todo conjunto bien ordenado es semejante a un ordinal \( \vartheta \), es decir, existe una aplicación biyectiva \( f:\vartheta\longrightarrow A \) que conserva el orden, es decir, que es estrictamente creciente.

Si \( \vartheta=\alpha+1 \) no es un ordinal límite entonces \( \alpha \) es el máximo de \( \vartheta \) y \( f(\alpha) \) es el máximo de \( A \), luego \( \bigcup A = f(\alpha)\in A\subset \kappa \).

Si \( \vartheta \) es un ordinal límite estás en el caso de tu definición de cardinal regular, sin más que llamar \( \alpha_\nu= f(\nu) \), pues tienes que \( f \) es la sucesión creciente \( \{\alpha_\nu\}_{\nu<\vartheta} \) y \( \sup A=\bigcup A = \sup\{\alpha_\nu\mid \nu<\vartheta\}<\kappa \).

Es decir, quiero probar que si \( \kappa \) es un cardinal regular, entonces dada cualquier sucesión transfinita \( \{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) de ordinales \( \alpha_\nu < \kappa \) cuya longitud \( \vartheta \) es un ordinal límite menor que \( \kappa \), entonces \( \sup\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} < \kappa \).

Toma \( A=\{\alpha_\nu\mid \nu<\vartheta\} \). Así \( A\subset \kappa \) y \( |A|\leq |\vartheta|\leq \vartheta <\kappa \) y sólo tienes que aplicar lo anterior.

Es fácil ver que la propiedad que te he demostrado (para un conjunto \( A \) arbitrario) es equivalente a la regularidad. Por eso decir que \( \omega_1 \) es regular equivale a decir que la unión numerable de ordinales numerables es numerable.

[Eparoh]

Hola Carlos, muchas gracias por todas las respuestas, creo que ahora si por fin está todo aclarado 

En efecto, eso es consecuencia de que \( \omega_1 \) es un cardinal regular, pero si tienes que trabajar para relacionarlo con tu definición de cardinal regular, justo para esto tienes un camino más corto: la unión numerable de conjuntos numerables es numerable.

En este caso, los ordinales \( \alpha_n \) son numerables, y su supremo no es ni más ni menos que su unión, luego es un ordinal (la unión de un conjunto ordinales siempre lo es) numerable (por ser unión numerable de conjuntos numerables), luego es un ordinal menor que \( \omega_1 \), que es el menor ordinal no numerable.

Es verdad, para estos casos no se necesitaría la noción de regularidad pues basta con lo que comentas, muy elegante gracias.

De todas formas, con lo que comentas después, según entiendo son equivalentes:

• \( \kappa \) es regular (bajo la definición que he dado en mi post anterior)
• Para cualquier conjunto \( A \subset \kappa \) con \( \left |{A}\right | < \kappa \) se cumple que \( \bigcup A < \kappa \)

Si lo he entendido bien, la implicación de 1 a 2 no sería más que lo que demuestras aquí

Más en general: Sea \( \kappa \) un cardinal regular y sea \( A\subset \kappa \) un conjunto con \( |A|<\kappa \). Entonces \( \sup A = \bigcup A <\kappa \).

En efecto, \( A \) es un conjunto bien ordenado, y todo conjunto bien ordenado es semejante a un ordinal \( \vartheta \), es decir, existe una aplicación biyectiva \( f:\vartheta\longrightarrow A \) que conserva el orden, es decir, que es estrictamente creciente.

Si \( \vartheta=\alpha+1 \) no es un ordinal límite entonces \( \alpha \) es el máximo de \( \vartheta \) y \( f(\alpha) \) es el máximo de \( A \), luego \( \bigcup A = f(\alpha)\in A\subset \kappa \).

Si \( \vartheta \) es un ordinal límite estás en el caso de tu definición de cardinal regular, sin más que llamar \( \alpha_\nu= f(\nu) \), pues tienes que \( f \) es la sucesión creciente \( \{\alpha_\nu\}_{\nu<\vartheta} \) y \( \sup A=\bigcup A = \sup\{\alpha_\nu\mid \nu<\vartheta\}<\kappa \).

Mientras que la implicación de 2 a 1, por contrarrecíproco basta ver que si \( \kappa \) no es regular, entonces existe un conjunto \( A \subset \kappa \) con \( \left |{A}\right | < \kappa \) tal que \( \bigcup A = \kappa \).
Y esto es claro pues, si \( \kappa \) no es regular, entonces es singular y existe una sucesión transfinita creciente \( \{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) de ordinales \( \alpha_\nu < \kappa \) cuya longitud \( \vartheta \) es un ordinal límite menor que \( \kappa \) y tal que \( \kappa=\sup\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \). Por tanto denotando \( A=\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) se tiene que efectivamente \( A \subset \kappa \), \( \left |{A}\right |=|\vartheta| \leq \vartheta < \kappa \) y \( \bigcup A = \kappa \), tal como buscábamos.

¿Es esto correcto?

Muchas gracias por la ayuda estos días, me han sido muy útiles todos tus comentarios.

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Mientras que la implicación de 2 a 1, por contrarrecíproco basta ver que si \( \kappa \) no es regular, entonces existe un conjunto \( A \subset \kappa \) con \( \left |{A}\right | < \kappa \) tal que \( \bigcup A = \kappa \).
Y esto es claro pues, si \( \kappa \) no es regular, entonces es singular y existe una sucesión transfinita creciente \( \{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) de ordinales \( \alpha_\nu < \kappa \) cuya longitud \( \vartheta \) es un ordinal límite menor que \( \kappa \) y tal que \( \kappa=\sup\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \). Por tanto denotando \( A=\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) se tiene que efectivamente \( A \subset \kappa \), \( \left |{A}\right |=|\vartheta| \leq \vartheta < \kappa \) y \( \bigcup A = \kappa \), tal como buscábamos.

¿Es esto correcto?

Es correcto. También te puede ser útil esta variante:

\( \kappa \) es regular si y sólo si cuando \( \{A_\alpha\}_{\alpha<\vartheta} \) es una familia de menos de \( \kappa \) conjuntos con \( |A_\alpha|<\kappa \), entonces \( \bigcup_{\alpha<\vartheta}A_\alpha \) tiene cardinal menor que \( \kappa \).

Observa que ahora los conjuntos son arbitrarios, cuyos elementos no son necesariamente ordinales. Es la generalización de que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable (la unión de menos de \( \aleph_1 \) conjuntos de cardinal menor que \( \aleph_1 \) tiene cardinal menor que \( \aleph_1 \)).

Muchas gracias por la ayuda estos días, me han sido muy útiles todos tus comentarios.

¡Ya ves! Te han sido muy útiles para salir de las "trampas" en las que te he metido con los errores que has encontrado. 

[Carlos Ivorra]

Ya he hecho los cambios. En realidad, la forma más natural de tratar el desfase que genera el hecho de que la jerarquía de Borel empieza en 1 y no en 0 es poner el 1 sumando delante de \( \beta \), es decir, que si \( A\in \Sigma_{1+\beta}^0(Y) \), entonces \( f^{-1}[A]\in \Sigma^0_{\alpha+\beta}(X) \). Además, no es necesario tratar aparte el caso en que \( \beta \) es un ordinal límite.

[Eparoh]

Hola Carlos.

Es correcto. También te puede ser útil esta variante:

\( \kappa \) es regular si y sólo si cuando \( \{A_\alpha\}_{\alpha<\vartheta} \) es una familia de menos de \( \kappa \) conjuntos con \( |A_\alpha|<\kappa \), entonces \( \bigcup_{\alpha<\vartheta}A_\alpha \) tiene cardinal menor que \( \kappa \).

La implicación recíproca creo que sería trivial pues dado \( A \subset \kappa \) con \( \left |{A}\right | < \kappa \), tenemos que para cada \( \alpha \in A \) se tiene que \( \alpha < \kappa \), con lo que \( |\alpha| < \kappa \) y por hipótesis es entonces es cardinal de \( \bigcup A \) menor que \( \kappa \), luego como \( \bigcup A \) es un ordinal, es \( \bigcup A < \kappa \). Entonces como el conjunto \( A \) es arbitrario, por lo que hemos dicho antes, \( \kappa \) es regular.

Para la implicación directa, estoy teniendo problemas con la arbitrariedad de los conjuntos y no llego a demostrarlo (sin asumir cosas que no se si son ciertas y mucho menos demostrar). ¿Cómo se podría ver?

¡Ya ves! Te han sido muy útiles para salir de las "trampas" en las que te he metido con los errores que has encontrado. 

Pues realmente he aprendido bastante gracias a estas "trampas" porque he tenido que repasar y pensar más en los conceptos para ver si me estaba equivocando yo o eran realmente errores 

Ya he hecho los cambios. En realidad, la forma más natural de tratar el desfase que genera el hecho de que la jerarquía de Borel empieza en 1 y no en 0 es poner el 1 sumando delante de \( \beta \), es decir, que si \( A\in \Sigma_{1+\beta}^0(Y) \), entonces \( f^{-1}[A]\in \Sigma^0_{\alpha+\beta}(X) \). Además, no es necesario tratar aparte el caso en que \( \beta \) es un ordinal límite.

Ciertamente, así es más elegante y tal como dices se puede considerar la inducción de golpe sin distinguir los ordinales límite.

Un saludo y gracias de nuevo