Buenas tardes FORO! necesito de vuestra ayuda por favor con el siguiente ejercicio.
Sean los planos \( \pi_1:x-3y+kz=-2 \), \( \pi_2: (k^2-9)y+(k-3)z=3k \), \( \pi_3: x+(k^2-12)y+(2k-3)z=3k-2 \) y \( \pi_4: (k^2-5k+6)z=k^2+k-6 \), analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando su respuesta.
Solución
Lo primero que hice fue hallar los valores de \( k \) para los cuales el sistema con los cuatro planos es un SCD, SCI, o S.Inc
Hallando
(1) \( \forall{k \in{\mathbb{R}}}-\{2,-3,3\} \Longrightarrow{} \) SCD La matriz es \( \begin{bmatrix}{1}&{-3}&{k}&{|}&-2\\{0}&{1}&{\displaystyle\frac{1}{k+3}}&|&\displaystyle\frac{3k}{k^2-9}\\{0}&{0}&{\color{red}{1}}&|&\displaystyle\frac{k+3}{k-3}\\{0}&{0}&{0}&|&0 \end{bmatrix} \)
EDITADO: corregí el elemento \( a_{33}=1 \) y no \( 0 \) Gracias Luis Fuentes.!
(2) Si \( k=2 \Longrightarrow{SCI} \) La matriz es \( \begin{bmatrix}{1}&{-3}&{2}&{|}&-2\\{0}&{1}&{\displaystyle\frac{1}{5}}&|&-\displaystyle\frac{6}{5}\\{0}&{0}&{0}&|&0\\{0}&{0}&{0}&|&0 \end{bmatrix} \)
(3) Si \( k=-3 \vee k=3 \Longrightarrow{S. Incompatible} \)
Si \( k=3 \) la matriz escalonada que queda es \( \begin{bmatrix}{1}&{-3}&{3}&{|}&-2\\{0}&{0}&{0}&|&1\\{0}&{0}&{0}&|&0\\{0}&{0}&{0}&|&0 \end{bmatrix} \)
Si \( k=-3 \) la matriz escalonada que queda es: \( \begin{bmatrix}{1}&{-3}&{-3}&{|}&-2\\{0}&{0}&{1}&|&0\\{0}&{0}&{0}&|&1\\{0}&{0}&{0}&|&0 \end{bmatrix} \)
Afirmación 1: Existen más de dos planos paralelos no coincidentes
En (1) se anula la última fila completa quiere decir que hay dos planos que son paralelos y coincidentes. Luego hay 2 planos que son el mismo plano y los cuatro planos se intersectan en un único punto en el espacio.
En (2) Se anulan por completo dos filas del sistema, por lo que hay 2 planos paralelos y coincidentes, y los 4 planos se intersectan en una recta.
EDITADO: Creo que no es necesario analizar los puntos (1) y (2) ya que si dos planos son paralelos NO COINCIDENTES, entonces el sistema resulta Incompatible, por lo que solamente analizaría el punto (3)
En (3) Cuando \( k=3 \) y En (3) Cuando \( k=-3 \)
Si \( k=3 \) la matriz escalonada que queda es \( \begin{bmatrix}{1}&{-3}&{3}&{|}&-2\\{0}&{0}&{0}&|&1\\{0}&{0}&{0}&|&0\\{0}&{0}&{0}&|&0 \end{bmatrix} \)
Esto es lo que pienso. Tengo 3 planos paralelos y coincidentes (por lo que hay 3 planos que son el mismo, debido a las 2 ultimas filas que se anulan por completo) y uno que es paralelo no coincidente (la fila 2). Pero ¿tengo dos planos paralelos no coincidentes?
Si \( k=-3 \) la matriz escalonada que queda es: \( \begin{bmatrix}{1}&{-3}&{-3}&{|}&-2\\{0}&{0}&{1}&|&0\\{0}&{0}&{0}&|&1\\{0}&{0}&{0}&|&0 \end{bmatrix} \)
Hay dos planos que son uno solo, pues la fila 4 se anula por completo. Y hay dos planos paralelos no coincidentes por la fila 3, cuando se anulan los coeficientes del plano pero no se anula su término independiente, esto quiere decir que este plano es una combinacion lineal con alguno de los otros planos por lo tanto es paralelo pero no coincidente.
Muchas Gracias de antemano
Saludos
