Parece que tengo que revisar el libro, porque me parece que la notación que te confunde no está explicada en ninguna parte. Te la explico aquí:
El espacio de Baire \( \mathbb N \) sale de considerar el conjunto \( \omega \) de los números naturales con la topología discreta y formar el producto \( \mathcal N = \prod_{n\in\omega}\omega \), considerando en él la topología producto.
Esto hace que cada \( x\in \mathcal N \) no sea sino una sucesión de números naturales.
Teniendo en cuenta que una base de \( \omega \) (para la topología discreta) está formada por los conjuntos \( \{n\} \), resulta que la base usual para la topología producto formada a partir de ella es la formada por los abiertos de la forma \( \prod\limits_{i\in \omega}U_i \) donde cada \( U_i \) es, o bien todo \( \omega \), o bien \( U_i=\{n_i\} \), y este segundo caso sólo se da para un número finito de índices, digamos \( i_0,\ldots, i_k \).
Equivalentemente, un abierto básico es de la forma
\( \{x\in \mathcal N\mid x(i_0)=n_{i_0},\ldots, x(i_k)=n_{i_k}\} \)
para ciertos \( i_0,\ldots, i_k \), \( n_{i_0},\ldots, n_{i_k} \).
Pero esto se puede simplificar. En lugar de tomar ciertos \( i_0,\ldots, i_k \), podemos considerar todos los índices desde \( 0 \) hasta un cierto \( k-1 \) y considerar únicamente abiertos básicos de la forma
\( \{x\in \mathcal N\mid x(0)=n_0,\ldots, x(k-1)=n_{k-1}\} \).
Enseguida lo demostramos, pero antes vamos a introducir una notación conveniente para estos abiertos básicos. Si llamamos \( s:k\longrightarrow \omega \) dada por \( s(i)=n_i \) (y aquí ten presente que \( k={0,\ldots, k-1} \)), el abierto anterior es
\( B_s = \{x\in\mathcal N\mid x(0)=s(0),\ldots x(k-1)=s(k-1)\} \)
O también, llamando \( x|_k \) a la restricción de \( x \) al conjunto \( k=\{0, \ldots, k-1\} \),
\( B_s = \{x\in \mathcal N\mid x|_k = s\} \).
En suma, vamos a ver que una base de \( \mathcal N \) está formada por los conjuntos de sucesiones cuyos \( k \) primeros términos están prefijados de antemano por una sucesión finita \( s \).
Ciertamente, estos conjuntos son abiertos, porque son un caso particular de los abiertos básicos correspondientes a la base inicial que hemos considerado para la topología producto a partir de la base de \( \omega \) con la topología discreta.
Ahora toma un abierto arbitrario y un punto \( y\in U\subset \mathcal N \). En principio existe un abierto básico de la primera base que hemos considerado tal que
\( y\in \{x\in \mathcal N\mid x(i_0)=n_{i_0},\ldots, x(i_k)=n_{i_k}\}\subset U \).
Llamemos \( k' \) al máximo de \( i_0+1,\ldots, i_k+1 \) y sea \( s=y|_{k'} \) la sucesión finita de los \( k' \) primeros términos de \( x \). Notemos que \( s(i_j)=y(i_j)=n_j \) para todo \( j=0,\ldots, k \). Entonces tenemos que
\( y\in B_s\subset \{x\in \mathcal N\mid x(i_0)=n_{i_0},\ldots, x(i_k)=n_{i_k}\}\subset U \),
lo que prueba que los \( B_s \) forman también una base de \( \mathcal N \).
Así pues, en la práctica tenemos lo dicho: que una base de \( \mathcal N \) la forman simplemente los conjuntos \( B_s \) de sucesiones de números naturales tales que sus primeros \( k \) términos coinciden con los de una sucesión finita prefijada \( s\in \omega^{<\omega} \), donde este último conjunto es, por definición, el conjunto de las sucesiones finitas de números naturales.
Esto explica toda la notación que no está explicada en la prueba: lo que es \( s=x|_n \) (la restriccción de la sucesión \( x \) a sus \( n \) primeros términos, desde \( x_0 \) hasta \( x_{n-1} \)) y lo que es el abierto básico \( B_s = B_{x|_n} \).
Si no está claro, vuelve a preguntar. Por lo visto, cuando redacté el capítulo 6 pensaba que estos espacios de sucesiones estaban ya estudiados antes, pero lo cierto es que no lo están. Tengo que añadir eso. Me ocupo de ello en cuanto pueda.
Esto afecta igualmente al espacio de Cantor \( \mathcal C \), para el que todo lo dicho vale igualmente, pero considerando únicamente sucesiones de ceros y unos en lugar de sucesiones de números naturales arbitrarios.
Ps: Creo que hay una pequeña errata al comienzo del teorema, en el primer párrafo, donde faltaría decir que buscamos también los \( F_n \) de modo que su diámetro sea menor que \( \epsilon \).
Esto no sé a qué hace referencia. ¿A comienzo de qué teorema?
Ya he añadido en esa misma página la explicación de la notación.
