Autor Tema: Duda para encontrar la ecuación de la velocidad angular de un péndulo compuesto

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18 Febrero, 2021, 02:01 pm
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FXTEC

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Buenas mi duda es como calcular la ecuación del movimiento de un péndulo compuesto que va a realizar un impacto.

Con la ecuación dinámica de rotación:

\( \left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2+\dfrac{mLg\sin(\theta)}{I}=0 \)

\( \theta''+\dfrac{mLG\sin(\theta)}{I}=0 \)

Hago la EDO obteniendo:

\( \displaystyle\int d\theta=\displaystyle\int W\sin(\theta)dt \)
\( W=\dfrac{Mg}{I} \) es constante

No sé cómo hacer las integrales, ya que el ángulo depende del tiempo.

Mi duda es si estaría bien planteado el problema, ya que mi objetivo es encontrar la ecuación de la velocidad angular, o como sacar la integral, ya que él sin del ángulo no puede mantenerse, ya que la velocidad no puede ser cero en el punto más bajo de la trayectoria del péndulo.

Adjunto el proceso escrito a mano, allí considero que hay 2 pesos en distintas distribuciones, pero al final es constante la ecuación es la escrita en el foro, además la solución sacada no es correcta



18 Febrero, 2021, 02:59 pm
Respuesta #1

Abdulai

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Por favor, recordá que es obligatorio escribir fórmulas en LaTex.

En la ecuación  \( \dfrac{d^2\theta}{dt^2}+ W \sin\theta = 0 \)

se hace \( \dfrac{d^2\theta}{dt^2} = \dfrac{d(\frac{d\theta}{dt})}{dt} = \dfrac{d\theta}{dt} \;\dfrac{d(\frac{d\theta}{dt})}{d\theta} = \omega \; \dfrac{d\omega}{d\theta} \)

reemplazando   \( \omega \; d\omega + W\;\sin\theta\;d\theta = 0 \)

Integrando obtenés la velocidad angular (\( \omega \)) en función del ángulo (\( \theta \)) , tal como la habrías obtenido planteando conservación de la energía (sin necesidad de integrar)

Como \( \omega=\dfrac{d\theta}{dt} \) , integrando obtendrías el ángulo en función del tiempo.  El problema está en que eso implica una integral elíptica, no tiene solución en términos de funciones elementales.
Googleando sobre péndulo simple podés encontrar desarrollos de esta parte.

19 Febrero, 2021, 10:53 am
Respuesta #2

FXTEC

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Muchas gracias, me ha sido muy útil ya he podido extraer la velocidad angular  :aplauso: :aplauso: