[Francois]

Definición(Convergencia Painlevé-Kuratowsi)
Dada la sucesión de conjuntos \( {C^k} \) en \( (X,d) \)
Se dice que esta sucesión converge en el sentido P-K, si

\( Lim_{k \rightarrow \infty}inf C^k=Lim_{k \rightarrow \infty}Sup C^k \).

Por otro lado tenemos una caracterización de los límites interior y exterior de conjuntos.

\( \star  \)  \(  Lim_{k \rightarrow \infty}inf \ C^k=\{x\in X : Lim_{k \rightarrow \infty}sup \ d(x,C^k)=0\} \)
\( \star  \)  \(  Lim_{k \rightarrow \infty}sup \ C^k=\{x\in X : Lim_{k \rightarrow \infty}inf \ d(x,C^k)=0\} \)

Pregunta
Sea \( \{x^k\}  \)una sucesión de vectores en \( \mathbb{R}^n  \)tal que \( x^k \rightarrow x  \)
y \( \{\delta ^k\} \) una  sucesión de números reales positivos tales que \( \delta ^k \rightarrow \delta  \in \mathbb{R}_{++} \)

Probar que \( \mathbb{B}(x^k,\delta^k) \rightarrow \mathbb{ B}(x,\delta) \) en el sentido Painlevé-Kuratowski.


Idea que tengo
Pienso que debería probar \( Lim_{k} \ inf \ \mathbb{B}(x^k,\delta ^k)= \mathbb{B}(x,\delta) \) y \( Lim_{k} \ sup \ \mathbb{B}(x^k,\delta ^k)= \mathbb{B}(x,\delta) \)

Aunque mejor sería llegar a  \( Lim_{k} \ sup \ \mathbb{B}(x^k,\delta ^k) \subseteq{\mathbb{B}(x,\delta)}\subseteq{Lim_{k} \ inf \ \mathbb{B}(x^k,\delta ^k)} \)

Es en estas desigualdades que me pierdo con los cálculos.
El libro que encontré este ejemplo es el Rockafellar Variational Analysis en la página 111 lo pone como un ejemplo.
Pero no prueba nada, y pienso que no debe ser tan obvio el resultado.

A ver si consigo entender con su ayuda este problema.
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Entiendo que la bola límite \( \mathbb{B}(x,\delta) \) es cerrada, en otro caso el resultado no es cierto; es decir:

\( \mathbb{B}[x,\delta]=\{y|d(x,y)\leq \delta\} \)

 Ten en cuenta también que:

\(  d(y,\mathbb{B}(a,r))=\begin{cases}{0}&\text{si}& d(y,a)\leq r\\d(a,y)-r & \text{si}& d(y,a)> 0\end{cases} \)

Aunque mejor sería llegar a  \( Lim_{k} \ sup \ \mathbb{B}(x^k,\delta ^k) \subseteq{\mathbb{B}(x,\delta)}\subseteq{Lim_{k} \ inf \ \mathbb{B}(x^k,\delta ^k)} \)

Efectivamente, dado que siempre se cumple que: \( Liminf\subset Limsup \) es suficiente que pruebes eso.

Para probar que \( Lim_{k} \ sup \ \mathbb{B}(x^k,\delta ^k) \subseteq{\mathbb{B}[x,\delta]} \) probaremos que si \( y\not\in \mathbb{B}[x,\delta]
 \) entonces \( y\not\in Lim_{k} \ sup \ \mathbb{B}(x^k,\delta ^k) \).

Si \( y\not\in \mathbb{B}[x,\delta] \) entonces \( d(x,y)-\delta=\epsilon>0 \)

Dado que \( x^k\to x \) y \( \delta_k\to \delta \) existe un \( n_0 \) tal que si \( n>n_0 \) entonces \( d(x,x^n)<\epsilon/3 \) y \( |\delta-\delta_n|<\epsilon/3 \).

Entonces si \( n>n_0 \),

\( d(y,x^n)\geq d(x,y)-d(x^n,x)>\delta+\epsilon-\epsilon/3>\delta_n+\epsilon/3 \)

Por tanto para todo \( n>n_0 \), \( d(y,B(x^n\delta^n))\geq \epsilon/3 \) y así \( Lim_{k} \ sup \ d(\mathbb{B}(x^k,\delta ^k) ,y)\geq \epsilon/3 \). Consecuentemente \( y\not\in Lim_{k} \ sup \ \mathbb{B}(x^k,\delta ^k) \).

Intenta la otra inclusión.

Saludos.