Unas ayudas más.
Hola, tengo que encontrar los puntos estacionarios de la siguiente función definida en \( \mathbb{R}^2 \), y clasificarlos
\( f(x,y)=x^2+y^2-sin(x^2+y^2) \) . ¿Será que el único es el (0,0)?
No, los puntos críticos en el interior de \( C \) te saldrán \( (0,0) \) y todos los \( (x,y) \) pertenecientes a la circunferencia \( x^2+y^2=2\pi \).
Además debo ver que tiene maximo y minimo sobre \( \{(x,y)\in{}\mathbb{R}^2,x^2+y^2\leq{}9\} \) es Para esto ultimo se me ocurre que podria usar el corolario del teoema de multiplicadores de Lagrange, pero no se cómo.
No necesitas los multiplicadores de Lagrange, puen te piden extremos sobre el compacto \( C \), no sobre la fromtera de \( C \). Eligiendo la función auxiliar \( \varphi: [0,3]\to \mathbb{R} \) dada por \( \varphi (\rho)=\rho^2-\sin\rho^2 \) y aplicando el conocido método para hallar los extremos absolutos (y relativos) sobre un intervalo cerrado, obtendras mínimo absoluto en \( (0,0) \), máximo absoluto en \( (3,9-\sin 9) \) y
ni máximo ni mínimo local en \( (\sqrt{2\pi}, 2\pi) \). Pasando a la notación inicial queda:
\( f(0,0)=0 \) (mínimo absoluto),
\( f(x,y)=2\pi \text{ con }x^2+y^2=2\pi \) (
ni máximo ni mínimo local),
\( f(x,y)=9-\sin 9\text{ con }x^2+y^2=9 \) (máximo absoluto).
