Autor Tema: Teorema de acotación

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22 Enero, 2021, 11:48 am
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Marcos Castillo

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Hola, RM

Tengo un teorema, y me está costando mucho entenderlo. Intercalaré las dudas en cursiva. Espero no ser pesado. Todo este tiempo he estado esforzándome en vano. Ahí va:


Teorema 5  Teorema de la acotación

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \), entonces está acotada en dicho intervalo; es decir, existe una constante \( K \) tal que

\( |f(x)|\leq{K} \) si \( a\leq{x}\leq{b} \).
 
DEMOSTRACIÓN Demostraremos que \( f \) está acotada superiormente; la demostración de que \( f \) está acotada inferiormente es similar. Para todo entero positivo \( n \), sea \( S_n \) el conjunto de puntos \( x \) en \( [a,b] \) tal que \( f(x)>n \):

\( S_n=\{x:a\leq{x}\leq{b}\qquad{y}\qquad{f(x)>n}\} \)

Desearíamos demostrar que \( S_n \) es vacío para algún \( n \). Se deduciría entonces que \( f(x)\leq{n} \) para todo \( x \) en \( [a,b] \); es decir, \( n \) sería una cota superior de \( f \) en \( [a,b] \).
      Supongamos, por el contrario, que \( S_n \) es no vacío para todo \( n \). Demostraremos que esto lleva a una contradicción. Como \( S_n \) está acotado inferiormente ( \( a \) es una cota inferior), por completitud, \( S_n \) tiene una cota inferior mínima; llamémosla \( x_n \) (véase la Figura III.2). Evidentemente \( a\leq{x_n} \). Como \( f(x)>n \) en algún punto de \( [a,b] \) y \( f \) es continua en dicho punto, \( f(x)>n \) en algún intervalo contenido en \( [a,b] \). Se deduce entonces que \( f(x)\geq{n} \) (si \( f(x_n<n, \) entonces, por continuidad, \( f(x)<n \) para alguna distancia a la derecha de \( x_n \), y \( x_n \) no podría ser la máxima cota inferior de \( S_n \)).No entiendo esta frase.
Para todo \( n \), tenemos \( S_{n+1}\subset{S_n} \). Por lo tanto \( x_{n+1}\geq{x_n} \) y \( \{x_n\} \) es una sucesión creciente. Como está

acotada superiormente (\( b \) es una cota superior) esta sucesión converge, por el Teorema 2.

Teorema 2

TEOREMA 2 Si \( \{x_n\} \) es una sucesión creciente acotada superiormente, es decir,

\( x_{n+1}\geq{x_n}\qquad y \qquad x_n\leq{K}\qquad\mbox{para}\;n=1,\;2,\;3,... \)

entonces \( \mbox{lim}\;x_n=L \) existe (en otras palabras, si \( \{x_n\} \) es decreciente y acotada interiormente (creo que se refiere a "inferiormente"), entonces \( \mbox{lim}\;x_n \) existe)

DEMOSTRACIÓN Sea \( \{x_n\} \) creciente y acotada superiormente. El conjunto \( S \) de números reales \( x_n \) tiene una cota superior, \( K \), y por lo tanto tiene una cota superior mínima, \( L \). De este modo, \( x_n\leq{L} \) para todo \( n \), y si \( \epsilon>0 \), entonces existe un número positivo \( N \) tal que \( x_N>L-\epsilon \) (si no fuera así, \( L-\epsilon \) sería una cota superior de \( S \) que sería menor que la cota superior mínima). Si \( n\geq{N} \), entonces tenemos \( L-\epsilon<x_N\leq{x_n}\leq{L} \), por lo que \( \left |{x_n-L}\right |<\epsilon \). Por consiguiente \( \mbox{lim}x_n=L \). La demostración para el caso de una sucesión decreciente acotada inferiormente es similar."

Esto lo entiendo.

[cerrar]

Sea \( \mbox{lim}f(x_n)=f(L) \). Por el Teorema 3, \( a\leq{L}\leq{b} \).

Teorema 3

Si \( a\leq{x_n}\leq{b} \) para todo \( n \), y si \( \mbox{lim}f(x_n)=f(L) \), entonces \( a\leq{L}\leq{b} \).

DEMOSTRACIÓN Supongamos que \( L>b \). Sea \( \epsilon=L-b \). Como \( \mbox{lim}x_n=L \), existe un \( n \) tal que \( |x_n-L|<\epsilon \). Por consiguiente, \( x_n>L-\epsilon=L-(L-\epsilon)=b \), que es una contradicción, ya que se supone que \( x_n\leq{b} \). Entonces, \( L\leq{b} \). Un argumento similar permite demostrar que \( L\geq{a} \).

Esto sí lo entiendo.

[cerrar]

Como \( f \) es continua en \( L \), \( \mbox{lim}f(x_n)=f(L) \) existe por el Teorema 4.

Teorema 4

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \), si \( a\leq{x_n}\leq{b} \) para todo \( n \) y si \( \mbox{lim}x_n=L \),

entonces \( \mbox{lim}f(x_n)=f(L) \)

La demostración es similar a la del Teorema 1(b):

Si \( f \) es continua en el punto \( L \) y si \( \lim_{x \to{a}}{g(x)}=L \), entonces tenemos

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(g(x))}=f(L)=f(\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}) \)

En particular, si \( g \) es continua en el punto \( a \) (de forma que \( L=g(a)) \), entonces \( \lim_{x \to{a}}{f(g(x))}=f(g(a)) \), es decir, \( f\circ{g(x)}=f(g(x)) \) es continua en \( x=a \).

DEMOSTRACIÓN Sea \( \epsilon>0 \). Como \( f \) es continua en \( L \), existe un \( k>0 \) tal que \( |f(g(x))-f(L)|<\epsilon \) siempre que \( |g(x)-L|<k \). Puesto que \( \lim_{x \to{a}}{g(x)}=L \), existe un \( \delta>0 \) tal que si \( 0<|x-a|<\delta \), entonces \( |f(g(x))-f(L)<\epsilon| \) y \( \lim_{x \to{a}}{f(g(x))}=f(L) \).

Esta demostración la entiendo

[cerrar]

 Pero como \( f(x_n)\geq{n} \), \( \mbox{lim}f(x_n) \) no puede existir. Esta contradicción completa la demostración. Esto no lo entiendo

¡Un saludo!

PS: Es posible que haya alguna errata: el cuerpo de texto es muy grande :'(

No man is an island (John Donne)

22 Enero, 2021, 12:28 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

      Supongamos, por el contrario, que \( S_n \) es no vacío para todo \( n \). Demostraremos que esto lleva a una contradicción. Como \( S_n \) está acotado inferiormente ( \( a \) es una cota inferior), por completitud, \( S_n \) tiene una cota inferior mínima; llamémosla \( x_n \) (véase la Figura III.2). Evidentemente \( a\leq{x_n} \). Como \( f(x)>n \) en algún punto de \( [a,b] \) y \( f \) es continua en dicho punto, \( f(x)>n \) en algún intervalo contenido en \( [a,b] \). Se deduce entonces que \( \color{red}f(x)\color{black}\geq{n} \) (si \( f(x_n<n, \) entonces, por continuidad, \( f(x)<n \) para alguna distancia a la derecha de \( x_n \), y \( x_n \) no podría ser la máxima cota inferior de \( S_n \)).No entiendo esta frase.

Lo que he marcado en rojo debería de ser \( f(x_n) \). Te reformulo que hace ahí.

Toma \( x_n=inf\{x\in [a,b]|f(x)>n\} \). Primero es claro que \( x_n\geq a \).

Además \( x_n<b \). En caso contrario \( f(x)\leq n \) para todo \( x<x_n=b \) y la función estaría acotada superiormente, con lo cuál ya tendríamos probada la acotación buscada.

Ahora quiere probar que \( f(x_n)\geq n \). Lo hace por reducción al absurdo; en caso contrario si \( f(x_n)<n \), por continuidad existe un \( \delta>0 \) tal que si \( x\in (x_n,x_n+\epsilon)\subset [a,b] \) entonces \( |f(x)-f(x_n)|<n-f(x_n) \); pero entonces \( f(x)<n \) para todo \( x\in (x_n,x_n+\epsilon)\subset [a,b] \), lo cuál contradice la condición de ínfimo de \( x_n \).


Citar
Teorema 3

Si \( a\leq{x_n}\leq{b} \) para todo \( n \), y si \( \mbox{lim}\color{red}f(x_n)=f(L)\color{black} \), entonces \( a\leq{L}\leq{b} \).

Hay una errata ahí sobran las \( f. \)

Citar
Pero como \( f(x_n)\geq{n} \), \( \mbox{lim}f(x_n) \) no puede existir. Esta contradicción completa la demostración. Esto no lo entiendo

Pues una sucesión \( \{f(x_n)\} \) en cada término es mayor que \( n \), no puede converger diverge a infinito (el primer término es mayor que \( 1 \), el segundo mayor que \( 2 \), el tercero mayor que \( 3 \),...).

Saludos.

22 Enero, 2021, 04:06 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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¡Muchas gracias! De verdad, has sorteado las erratas (debidas a mí en el spoiler para el Teorema 3):


Teorema 3 Si \( a\leq{x_n}\leq{b} \) para todo \( n \), y si \( \mbox{lim}\;x_n=L \), entonces \( a\leq{L}\leq{b} \).


También has dado sentido a un texto incompleto (debido a mí también):


      "Supongamos, por el contrario, que \( S_n \) es no vacío para todo \( n \). Demostraremos que esto lleva a una contradicción. Como \( S_n \) está acotado inferiormente ( \( a \) es una cota inferior), por completitud, \( S_n \) tiene una cota inferior mínima; llamémosla \( x_n \) (véase la Figura III.2). Evidentemente \( a\leq{x_n} \). Como \( f(x)>n \) en algún punto de \( [a,b] \) y \( f \) es continua en dicho punto, \( f(x)>n \) en algún intervalo contenido en \( [a,b] \). Entonces \( x_n<b \). Se deduce entonces que \( f(x_n)\geq{n} \) (si \( f(x_n<n, \) entonces, por continuidad, \( f(x)<n \) para alguna distancia a la derecha de \( x_n \), y \( x_n \) no podría ser la máxima cota inferior de \( S_n \))."


...Y lo has solucionado de un plumazo. ¡Un saludo cordial!
No man is an island (John Donne)