Autor Tema: ¿Existe esta isometría?

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22 Enero, 2021, 11:48 am
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mxxny

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Hola, quiero saber si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
"Sean $$R_{1}$$, $$S_{1}$$, dos rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$, e igualmente $$R_{2}$$, $$S_{2}$$ otro par de rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$. Entonces existe una isometría $$f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow  \mathbb{R}^3$$, tal que $$f(R_{1})=R_{2}$$ y $$f(S_{1})=S_{2}$$."

¿Podría alguien darme una pista o algún tipo de indicación para llegar a ver si es posible que esa isometría exista o, por el contrario, nunca existirá?

Muchas gracias por adelantado.

22 Enero, 2021, 12:01 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola, quiero saber si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
"Sean $$R_{1}$$, $$S_{1}$$, dos rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$, e igualmente $$R_{2}$$, $$S_{2}$$ otro par de rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$. Entonces existe una isometría $$f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow  \mathbb{R}^3$$, tal que $$f(R_{1})=R_{2}$$ y $$f(S_{1})=S_{2}$$."

Ten en cuenta que una isometría conserva distancias. ¿Qué ocurre si las rectas originales están a distinta distancia entre si que sus pretendidas imágenes?.

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¿Podría alguien darme una pista o algún tipo de indicación para llegar a ver si es posible que esa isometría exista o, por el contrario, nunca existirá?

Ojo como formulas la pregunta; una cosa es que pueda existir (para ciertas posiciones particulares de las rectas) y otras que no exista nunca.

Saludos.

22 Enero, 2021, 12:15 pm
Respuesta #2

mxxny

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Gracias, Luis Fuentes. Entonces la respuesta sería que puedo definir esa isometría siempre que la distancia entre $$R_{1}$$ y $$S_{1}$$ sea igual a la distancia entre $$R_{2}$$ y $$S_{2}$$, en caso contrario, f no sería una isometría, pues no se conservarían las distancias existentes entre ambas rectas y sus imágenes al aplicar f, ¿verdad?

22 Enero, 2021, 12:38 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Gracias, Luis Fuentes. Entonces la respuesta sería que puedo definir esa isometría siempre que la distancia entre $$R_{1}$$ y $$S_{1}$$ sea igual a la distancia entre $$R_{2}$$ y $$S_{2}$$, en caso contrario, f no sería una isometría, pues no se conservarían las distancias existentes entre ambas rectas y sus imágenes al aplicar f, ¿verdad?

No. Cuidado. Si las distancias NO son iguales desde luego no se puede definir la isometría; pero la distancia podría coincidir y aun así tampoco existir la isometría. Piensa por ejemplo dos pares de rectas a la misma distancia entre si, pero unas paralelas y otras perpendiculares: las isometrías conservan ángulos.

En realidad para contestar a la pregunta tal como está planteada: simplemente tienes que decir que es FALSA y dar un ejemplo donde falle (el que te comenté de rectas a distintas distancias).

Decir que condiciones adicionales hay que exigir para garantizar la existencia de esa isometría es más sútil (más completo también) que simplemente decir si esa afirmación es verdadera o falsa.

Esas condiciones serían (si no me equivoco) estar a la misma distancia y que sus vectores directores formen el mismo ángulo. Pero esto habría que justificarlo con un poco de cuidado.

Saludos.

22 Enero, 2021, 12:42 pm
Respuesta #4

mxxny

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Hola

Gracias, Luis Fuentes. Entonces la respuesta sería que puedo definir esa isometría siempre que la distancia entre $$R_{1}$$ y $$S_{1}$$ sea igual a la distancia entre $$R_{2}$$ y $$S_{2}$$, en caso contrario, f no sería una isometría, pues no se conservarían las distancias existentes entre ambas rectas y sus imágenes al aplicar f, ¿verdad?

No. Cuidado. Si las distancias NO son iguales desde luego no se puede definir la isometría; pero la distancia podría coincidir y aun así tampoco existir la isometría. Piensa por ejemplo dos pares de rectas a la misma distancia entre si, pero unas paralelas y otras perpendiculares: las isometrías conservan ángulos.

En realidad para contestar a la pregunta tal como está planteada: simplemente tienes que decir que es FALSA y dar un ejemplo donde falle (el que te comenté de rectas a distintas distancias).

Decir que condiciones adicionales hay que exigir para garantizar la existencia de esa isometría es más sútil (más completo también) que simplemente decir si esa afirmación es verdadera o falsa.

Esas condiciones serían (si no me equivoco) estar a la misma distancia y que sus vectores directores formen el mismo ángulo. Pero esto habría que justificarlo con un poco de cuidado.

Saludos.

Perfecto, ahora lo entiendo, muchas gracias por la explicación.

22 Enero, 2021, 02:31 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Por completar voy a detallar como construir la isometría, mediante composición de varias isometrías.

 Supongamos que \( d(R_1,S_1)=d(R_2,S_2) \) y \( ang(R_1,S_1)=ang(R_2,S_2). \)

 Sean \( P_i\in R_i \) y \( Q_i\in S_i \) los únicos puntos en las rectas tales que d(R_i,S_i)=d(P_i,Q_i) (los puntos de las rectas a mínima distancia y por tanto dan la distancia entre ellas). Recordemos que el vector \( P_iQ_i \) es perpendicular a ambas rectas.

 1) Mediante una traslación podemos llevar \( P_1 \) en \( P_2 \).  En cada paso mantengo el nombre de los objetos transformados. De esta forma ahora \( P_1=P_2 \).
 2) Mediante un giro llevamos \( R_1 \) en \( R_2 \) manteniendo el punto \( P_1 \) fijo. Ahora \( R_1=R_2 \).
 3) Los vectores \( \vec{P_1Q_1} \) y \( \vec{P_2Q_2} \) son ambos perpendiculares a \( R_1=R_2 \) y de la misma longitud. Por tanto con un giro de eje \( R_1=R_2 \) podemos llevar \( Q_1 \) en \( Q_2, \) manteniendo el eje de giro fijo. Ahora \( Q_1=Q_2 \).
 4) Ahora las rectas \( S_1 \) y \( S_2 \) son ambas perpendicualres al vector  \( \vec{P_1Q_1}=\vec{P_2Q_2} \), es decir, están en el plano perpendicular a ese vector que pasa por el punto \( Q_1=Q_2. \) Como ambas rectas forman el mismo ángulo con \( R_1=R_2 \) o coinciden o bien una es simétrica de la otra respecto al plano que forman \( R_1=R_2 \) y  \( Q_1=Q_2 \). Con esto hemos terminado.

Saludos.