[mxxny]

Hola, quiero saber si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
"Sean $$R_{1}$$, $$S_{1}$$, dos rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$, e igualmente $$R_{2}$$, $$S_{2}$$ otro par de rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$. Entonces existe una isometría $$f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow  \mathbb{R}^3$$, tal que $$f(R_{1})=R_{2}$$ y $$f(S_{1})=S_{2}$$."

¿Podría alguien darme una pista o algún tipo de indicación para llegar a ver si es posible que esa isometría exista o, por el contrario, nunca existirá?

Muchas gracias por adelantado.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, quiero saber si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
"Sean $$R_{1}$$, $$S_{1}$$, dos rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$, e igualmente $$R_{2}$$, $$S_{2}$$ otro par de rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$. Entonces existe una isometría $$f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow  \mathbb{R}^3$$, tal que $$f(R_{1})=R_{2}$$ y $$f(S_{1})=S_{2}$$."

Ten en cuenta que una isometría conserva distancias. ¿Qué ocurre si las rectas originales están a distinta distancia entre si que sus pretendidas imágenes?.

¿Podría alguien darme una pista o algún tipo de indicación para llegar a ver si es posible que esa isometría exista o, por el contrario, nunca existirá?

Ojo como formulas la pregunta; una cosa es que pueda existir (para ciertas posiciones particulares de las rectas) y otras que no exista nunca.

Saludos.

[mxxny]

Gracias, Luis Fuentes. Entonces la respuesta sería que puedo definir esa isometría siempre que la distancia entre $$R_{1}$$ y $$S_{1}$$ sea igual a la distancia entre $$R_{2}$$ y $$S_{2}$$, en caso contrario, f no sería una isometría, pues no se conservarían las distancias existentes entre ambas rectas y sus imágenes al aplicar f, ¿verdad?

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias, Luis Fuentes. Entonces la respuesta sería que puedo definir esa isometría siempre que la distancia entre $$R_{1}$$ y $$S_{1}$$ sea igual a la distancia entre $$R_{2}$$ y $$S_{2}$$, en caso contrario, f no sería una isometría, pues no se conservarían las distancias existentes entre ambas rectas y sus imágenes al aplicar f, ¿verdad?

No. Cuidado. Si las distancias NO son iguales desde luego no se puede definir la isometría; pero la distancia podría coincidir y aun así tampoco existir la isometría. Piensa por ejemplo dos pares de rectas a la misma distancia entre si, pero unas paralelas y otras perpendiculares: las isometrías conservan ángulos.

En realidad para contestar a la pregunta tal como está planteada: simplemente tienes que decir que es FALSA y dar un ejemplo donde falle (el que te comenté de rectas a distintas distancias).

Decir que condiciones adicionales hay que exigir para garantizar la existencia de esa isometría es más sútil (más completo también) que simplemente decir si esa afirmación es verdadera o falsa.

Esas condiciones serían (si no me equivoco) estar a la misma distancia y que sus vectores directores formen el mismo ángulo. Pero esto habría que justificarlo con un poco de cuidado.

Saludos.

[mxxny]

Hola

Gracias, Luis Fuentes. Entonces la respuesta sería que puedo definir esa isometría siempre que la distancia entre $$R_{1}$$ y $$S_{1}$$ sea igual a la distancia entre $$R_{2}$$ y $$S_{2}$$, en caso contrario, f no sería una isometría, pues no se conservarían las distancias existentes entre ambas rectas y sus imágenes al aplicar f, ¿verdad?

No. Cuidado. Si las distancias NO son iguales desde luego no se puede definir la isometría; pero la distancia podría coincidir y aun así tampoco existir la isometría. Piensa por ejemplo dos pares de rectas a la misma distancia entre si, pero unas paralelas y otras perpendiculares: las isometrías conservan ángulos.

En realidad para contestar a la pregunta tal como está planteada: simplemente tienes que decir que es FALSA y dar un ejemplo donde falle (el que te comenté de rectas a distintas distancias).

Decir que condiciones adicionales hay que exigir para garantizar la existencia de esa isometría es más sútil (más completo también) que simplemente decir si esa afirmación es verdadera o falsa.

Esas condiciones serían (si no me equivoco) estar a la misma distancia y que sus vectores directores formen el mismo ángulo. Pero esto habría que justificarlo con un poco de cuidado.

Saludos.

Perfecto, ahora lo entiendo, muchas gracias por la explicación.

[Luis Fuentes]

Hola

 Por completar voy a detallar como construir la isometría, mediante composición de varias isometrías.

 Supongamos que \( d(R_1,S_1)=d(R_2,S_2) \) y \( ang(R_1,S_1)=ang(R_2,S_2). \)

 Sean \( P_i\in R_i \) y \( Q_i\in S_i \) los únicos puntos en las rectas tales que d(R_i,S_i)=d(P_i,Q_i) (los puntos de las rectas a mínima distancia y por tanto dan la distancia entre ellas). Recordemos que el vector \( P_iQ_i \) es perpendicular a ambas rectas.

 1) Mediante una traslación podemos llevar \( P_1 \) en \( P_2 \).  En cada paso mantengo el nombre de los objetos transformados. De esta forma ahora \( P_1=P_2 \).
 2) Mediante un giro llevamos \( R_1 \) en \( R_2 \) manteniendo el punto \( P_1 \) fijo. Ahora \( R_1=R_2 \).
 3) Los vectores \( \vec{P_1Q_1} \) y \( \vec{P_2Q_2} \) son ambos perpendiculares a \( R_1=R_2 \) y de la misma longitud. Por tanto con un giro de eje \( R_1=R_2 \) podemos llevar \( Q_1 \) en \( Q_2, \) manteniendo el eje de giro fijo. Ahora \( Q_1=Q_2 \).
 4) Ahora las rectas \( S_1 \) y \( S_2 \) son ambas perpendicualres al vector  \( \vec{P_1Q_1}=\vec{P_2Q_2} \), es decir, están en el plano perpendicular a ese vector que pasa por el punto \( Q_1=Q_2. \) Como ambas rectas forman el mismo ángulo con \( R_1=R_2 \) o coinciden o bien una es simétrica de la otra respecto al plano que forman \( R_1=R_2 \) y  \( Q_1=Q_2 \). Con esto hemos terminado.

Saludos.